Question

【題目】閱讀下面的題目及分析過程．已知：如圖點是的中點，點在上，且

　　　原圖 　　　 ① 　　 ②

說明：

說明兩個角相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的性質．觀察本題中說明的兩個角，它們既不在同一個三角形中，而且們所在兩個三角形也不全等．因此，要說明，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形，現在提供兩種添加輔加線的方法如下：

如圖①過點作，交的延長線于點．

如圖②延長至點，使，連接．

（1）請從以上兩種輔助線中選擇一種完成上題的說理過程．

（2）在解決上述問題的過程中，你用到了哪種數學思想？請寫出一個．_______________．

（3）反思應用：

如圖，點是的中點，于點．

請類比（1）中解決問題的思想方法，添加適當的輔助線，判斷線段與之間的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）采用第一種方法，證明見解析（2）轉化思想（3）AC+DE＞CD，證明見解析

【解析】

（1）過點作，證明得到△ABE≌△FCE，得到，再根據得到，故可得到；

（2）此題用到了轉化思想；

（3）過點E作，證明得到△ABC≌△EBF，得到AC=EF,連接DF,利用等腰三角形三線合一得到CD=DF，再根據三角形的三邊關系得到與之間的大小關系即可求解．

（1）采用第一種方法，過點作，交的延長線于點．

∵

∴,

又E點是BC中點，

∴BE=CE

∴△ABE≌△FCE（AAS）

∴，AB=CF,A,E,F在同一直線上，

∵

∴

∴；

（2）此題用到了轉化思想；

故答案為：轉化思想；

（3）如圖，過點E作，同（1）理得到△ABC≌△EBF，

∴AC=EF，BC=BF

連接DF

∵

∴△CDF是等腰三角形

∴CD=DF，

在△DEF中，＞

故AC+DE＞CD．