Question

【題目】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．

探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集

（1）探究|x﹣1|的幾何意義

如圖①，在以O為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x﹣1，有絕對(duì)值的定義可知，點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為

|x﹣1|，可記為A′O=|x﹣1|．將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1．因?yàn)?/span>AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB．

（2）求方程|x﹣1|=2的解

因?yàn)閿?shù)軸上3和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2，所以方程的解為3，﹣1．

（3）求不等式|x﹣1|＜2的解集

因?yàn)?/span>|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍．請(qǐng)寫出這個(gè)解集：_________________________________．

探究二：探究的幾何意義

（1）探究的幾何意義

如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，在Rt△OPM中，PM=OQ=|y|，則，因此，的幾何意義可以理解為點(diǎn)M（x，y）與點(diǎn)O（0，0）之間的距離MO．

（2）探究的幾何意義

如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）可知，，將線段A′O先向右平移1個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5），因?yàn)?/span>AB=A′O，所以，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離AB．

（3）探究的幾何意義，根據(jù)探究二（2）所得的結(jié)論，請(qǐng)寫出的幾何意義可以理解為：________________．

（4）的幾何意義可以理解為：________________________________．

Answer 1

【答案】探究一（3）；探究二（3）點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（-3，4）之間的距離AB；（4）點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間的距離．

【解析】

探究一（3）由于|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍，從而畫出數(shù)軸即可；

探究二（3）由于的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離AB，所以可以得到的幾何意義是：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（-3，4）之間的距離AB；

（4）由前面的探究可知的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間的距離．

解：探究一：（3）如圖所示，

的解集是；

探究二：（3）如圖，

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x+3，y﹣4），

由探究二（1）可知，，

將線段A′O先向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到線段AB，

此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，4），

∵AB=A′O，

∴，．

∴的幾何意義是：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（-3，4）之間的距離AB；

（4）根據(jù)前面的探究可知的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間的距離．