【題目】數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象,我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題.下面我們來探究“由數(shù)思形,以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的幾何意義
如圖①,在以O為原點(diǎn)的數(shù)軸上,設(shè)點(diǎn)A′對(duì)應(yīng)的數(shù)是x﹣1,有絕對(duì)值的定義可知,點(diǎn)A′與點(diǎn)O的距離為
|x﹣1|,可記為A′O=|x﹣1|.將線段A′O向右平移1個(gè)單位得到線段AB,此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是x,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1.因?yàn)?/span>AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因?yàn)閿?shù)軸上3和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為2,所以方程的解為3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因?yàn)?/span>|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍.請(qǐng)寫出這個(gè)解集:_________________________________.
探究二:探究的幾何意義
(1)探究的幾何意義
如圖③,在直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),過M作MP⊥x軸于P,作MQ⊥y軸于Q,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,則,因此,的幾何意義可以理解為點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)O(0,0)之間的距離MO.
(2)探究的幾何意義
如圖④,在直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,,將線段A′O先向右平移1個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位,得到線段AB,此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,5),因?yàn)?/span>AB=A′O,所以,因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(1,5)之間的距離AB.
(3)探究的幾何意義,根據(jù)探究二(2)所得的結(jié)論,請(qǐng)寫出的幾何意義可以理解為:________________.
(4)的幾何意義可以理解為:________________________________.
【答案】探究一(3);探究二(3)點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(-3,4)之間的距離AB;(4)點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)之間的距離.
【解析】
探究一(3)由于|x﹣1|表示數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離,所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個(gè)距離小于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)x的范圍,從而畫出數(shù)軸即可;
探究二(3)由于的幾何意義可以理解為點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(1,5)之間的距離AB,所以可以得到的幾何意義是:點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(-3,4)之間的距離AB;
(4)由前面的探究可知的幾何意義可以理解為:點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)之間的距離.
解:探究一:(3)如圖所示,
的解集是;
探究二:(3)如圖,
在直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(x+3,y﹣4),
由探究二(1)可知,,
將線段A′O先向左平移3個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位,得到線段AB,
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,4),
∵AB=A′O,
∴,.
∴的幾何意義是:點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(-3,4)之間的距離AB;
(4)根據(jù)前面的探究可知的幾何意義可以理解為:點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)B(a,b)之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年年初,在我國湖北等地區(qū)爆發(fā)了新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎疫情,對(duì)此湖北武漢率先采取了“封城”的措施,為了解決武漢市民的生活物資緊缺問題,某省給武漢捐獻(xiàn)一批水果和蔬菜共435噸,其中蔬菜比水果多97噸.
(1)求蔬菜和水果各有多少噸?
(2)某慈善組織租用甲、乙兩種貨車共16輛,已知一輛甲車同時(shí)可裝蔬菜18噸,水果10噸;一輛乙車同時(shí)可裝蔬菜16噸,水果11噸;若將這批貨物一次性運(yùn)到武漢,有哪幾種租車方案?請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)出來.
(3)若甲種貨車每輛需付燃油費(fèi)1600元,乙種貨車每輛需付燃油費(fèi)1200元,應(yīng)選(2)中的那種方案,才能使所付的燃油費(fèi)最少?最少的燃油費(fèi)是多少元?
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【題目】如圖,AF∥CD,CB平分∠ACD,BD平分∠EBF,且BC⊥BD,下列結(jié)論:① BC平分∠ABE;② AC∥BE;③ ∠CBE+∠D=90°;④ ∠DEB=2∠ABC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別是(0,0),(2,3),AB=5,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是( )
A. (3,7)B. (5,3)C. (7,3)D. (8,2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某檢修小組1乘一輛汽車沿公路檢修線路,約定向東為正。某天從A地出發(fā)到收工時(shí),行走記錄為(單位:千米):+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6。另一小組2也從A地出發(fā),在南北向修,約定向北為正,行走記錄為:-17,+9,-2,+8,+6,+9,-5,-1,+4,-7,-8.
(1)分別計(jì)算收工時(shí),1,2兩組在A地的哪一邊,距A地多遠(yuǎn)?
(2)若每千米汽車耗油a升,求出發(fā)到收工各耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校的數(shù)學(xué)小組將七年級(jí)學(xué)生某個(gè)星期天閱讀時(shí)間t(單位:分鐘)的調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
閱讀時(shí)間分鐘 | 頻數(shù)(人數(shù)) | 頻率 |
30≤t<40 | 10 | 5% |
40≤t<50 | 40 | m |
50≤t<60 | a | 40% |
60≤t<70 | b | n |
70≤t<80 | 20 | 10% |
(1)求a=________,b=________,m=________,n=________;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果閱讀時(shí)間不少于60分鐘即為達(dá)標(biāo),則達(dá)標(biāo)人數(shù)共有多少人?若七年級(jí)學(xué)生在某時(shí)間段內(nèi)閱讀的人數(shù)有500人,估計(jì)約有多少人達(dá)標(biāo)?
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【題目】速度分別為100km/h和akm/h(0<a<100)的兩車分別從相距s千米的兩地同時(shí)出發(fā),沿同一方向勻速前行.行駛一段時(shí)間后,其中一車按原速度原路返回,直到與另一車相遇時(shí)兩車停止.在此過程中,兩車之間的距離y(km)與行駛時(shí)間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法:①a=60;②b=2;③c=b+;④若s=60,則b=.其中說法正確的是( )
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),,,且、滿足,.
(1)求的面積;
(2)若,、為線段上的動(dòng)點(diǎn),作交于,FP平分∠GFC,FN平分∠AFP交x軸于N,記∠FNB=,求∠BAC(用表示);
(3)若,軸于,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),在射線上運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),到停止運(yùn)動(dòng),、的速度分別為2個(gè)單位/秒、3個(gè)單位/秒,當(dāng)時(shí),求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等腰直角和等腰直角如圖放置,,,,其中,、、在一條直線上,連接并延長交于,
(1)求證:
(2)與有什么位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
(3)若,與有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
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