Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=﹣ x﹣6交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；
②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求 AM+CM它的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；

（2）

解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點(diǎn)A，B，

∴ ，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設(shè)E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG=OB=4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，

∴m=﹣2，

∴G（﹣2，4）；

（3）

解：①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，

∴設(shè)E（a，2a+4），

∵直線AC：y=﹣ x﹣6，

∴F（a，﹣ a﹣6），

設(shè)H（0，p），

∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣ x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF為對(duì)角線，

∴ （﹣4+0）= （a+a）， （﹣4+p）= （2a+4﹣ a﹣6），

∴a=﹣2，P=﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH= ，AE=2 ，

設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點(diǎn)P，

∴PE= ，

連接PC交⊙E于M，連接EM，

∴EM=EH= ，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ，∵∠PEM=∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴ ，

∴PM= AM，

∴ AM+CM的最小值=PC，

設(shè)點(diǎn)P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，

∵PE= ，

∴5（p+2）2= ，

∴p=﹣ 或p=﹣ （由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣ ，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC= = ，

即： AM+CM= ．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可；（3）①先判斷出要以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM= AM，連接CP交圓E于M，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�