Question

【題目】如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過的角度記作a；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問題：
探究：
（1）若R=2，m=1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是；如圖2，當(dāng)a=°時(shí)，半圓O與射線AB相切；
（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說明理由．
（3）發(fā)現(xiàn)：如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系；cosα=（用含有R、m的代數(shù)式表示）
（4）拓展：如圖5，若R=m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是 ， 并求出在這個(gè)變化過程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）

Answer 1

【答案】
（1） +1；60°
（2）解：設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

∵O′P=R，

∴R= R+1，

∴R=4+2 ．

（3）
（4）解：如圖5中,當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí),為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM,所以∠AMN′=60°,所以,α=120°因此,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),α的取值范圍是：90°＜α≤120°故答案為90°＜α≤120°；當(dāng)N′落在AB上時(shí),陰影部分面積最大,所以S═ ﹣ ? m? m= ﹣ m2．
【解析】解：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長(zhǎng)即可．

在Rt△MFO′中，∵∠MO F=30°，MO′=2，

∴O′F=O′Mcos30°= ，O′E= +1，

∴點(diǎn)O′到AB的距離為 +1．

如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，

∴AE=O′F=2，

∵AM=1，

∴EM=1，

在Rt△O′EM中，sinα= = ，

∴α=60°

故答案為 +1，60°．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．

在Rt△O′QM中，O′Q=Rcosα，QP=m，

∵O′P=R，

∴Rcosα+m=R，

∴cosα= ．

故答案為 ．

（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα= = ，推出α=60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題、（4）當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，求出此時(shí)的面積即可．