Question

【題目】已知拋物線，與x軸交于兩點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（Ⅰ）求點A，B和點C的坐標；

（Ⅱ）已知P是線段上的一個動點．

①若軸，交拋物線于點Q，當取最大值時，求點P的坐標；

②求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A，B，C；（Ⅱ）①；②

【解析】

（Ⅰ）令，代入拋物線解析式即可求出A、B的坐標，令從而得出C點坐標；

（Ⅱ）①設代入B、C坐標即可得出直線解析式，設，，則，且Q在P上方，分別表示出PQ，BP即可得出PQ+BP的表達式，對表達式進行配方即可得出結果，②如圖，延長至點D，使得，連接，作軸于點E，過點P作于點H，可證的是等腰直角三角形，由垂線段最短可知，當，，共線時取得最小值，根據題目已知條件得出D點坐標，表示出即可得出結果．

解：（Ⅰ）令，則，解得，．

∴A點坐標為，B點坐標為．

令，則．

∴C點坐標為．

（Ⅱ）①設：，將，分別代入得，

，解得，故．

可設，，則，且Q在P上方．

所以．

又．

故．

當時取得最大值，此時．

②如圖，延長至點D，使得，連接，作軸于點E，過點P作于點H．

由，，，

所以，．

則是等腰直角三角形，．

，由垂線段最短可知，當，，共線時取得最小值．

∵，

∵，

∴．

∴．

∴，．

可得點D的坐標為．

∴，

，代入可得，

解得，故有．

所以的最小值為．