Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．

（）試判斷該拋物線與軸交點(diǎn)的情況．

（）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，同時(shí)滿足以， ， 為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．請(qǐng)你寫出平移過程，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）將原拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位即可．

【解析】試題分析：（1）把P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)和等腰三角形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標(biāo)代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點(diǎn)的變化即可得到平移的過程．

解：（）將， 代入中得

．

解得： ．

∴拋物線為．

．

．

．

∴拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

一個(gè)交在軸正半軸，一個(gè)交在軸負(fù)半軸，且正半軸交點(diǎn)離原點(diǎn)更遠(yuǎn)．

（）∵是等腰直角三角形， ，點(diǎn)在軸上，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或．

可設(shè)平移后的拋物線解析式為．

①當(dāng)拋物線過點(diǎn)， 時(shí)，代入可得．

，解得．

∴平移后的拋物線為．

∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

∴將原拋物線向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位即可．

②當(dāng)拋物線過點(diǎn)， 時(shí)，代入可得．

，解得．

∴平移后的拋物線為．

∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，而原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

∴將原拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位即可．