Question

【題目】已知拋物線y=a(x﹣1)(x﹣3)(a<0)的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，過C作CB∥x軸交拋物線于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作直線l⊥x軸，連結(jié)OA并延長，交l于點(diǎn)D，連結(jié)OB．

(1)當(dāng)a=﹣2時(shí)，求線段OB的長．

(2)是否存在特定的a值，使得△OBD為等腰三角形？若存在，請寫出計(jì)算過程并求出a的值；若不存在，請說明理由．

(3)設(shè)△OBD的外心M的坐標(biāo)為(m，n)，求m與n的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

【答案】（1）2 （2）a=﹣1或- （3）m=3n2+2

【解析】

（1）把a=-2代入y=-2（x-1）（x-3）=-2x2+8x-6，解方程得到點(diǎn)C（0，-6），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）解方程得到C（0，3a），B（4，3a），過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，AE延長線與CB交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DG=2AE=-2a，求得BD=DG+BG=-5a，當(dāng)△OBD為等腰三角形時(shí)，①當(dāng)OB=BD=-5a，②當(dāng)OD=BD=-5a時(shí)，③當(dāng)OD=OB時(shí)，DG=BG，解方程即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)已知條件得到點(diǎn)M在BD的垂直平分線上，OM=MD，求得n=a，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

(1)當(dāng)a=﹣2時(shí)，y=﹣2(x﹣1)(x﹣3)=﹣2x2+8x﹣6，

當(dāng)x=0時(shí)，得y=﹣6，

∴點(diǎn)C(0，﹣6)，

當(dāng)y=﹣6時(shí)，即﹣6=﹣2x2+8x﹣6，

解得：x=0，或x=4，

∴點(diǎn)B(4，﹣6)，

∴BC=4，OC=6，

∴OB═ =2 ；

(2)在y═a(x﹣1)(x﹣3)中，令x═0，得y═3a，

∴C(0，3a)，B(4，3a)，

∵點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，

∴A(2，－a)，

過A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，AE延長線與CB交于點(diǎn)F，

將BD與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)G，

則E為OG的中點(diǎn)，

∵AE∥BD，

∴DG=2AE=﹣2a，

∴BD=DG+BG=﹣5a，

當(dāng)△OBD為等腰三角形時(shí)，分類討論：

①當(dāng)OB=BD=﹣5a，在Rt△OBC中，BC=﹣4a=4，

∴a=﹣1，

②當(dāng)OD=BD=﹣5a時(shí)，在Rt△ODG中，25a2﹣4a2=16，

∴a=±；∵a<0

∴a=-

③當(dāng)OD=OB時(shí)，DG=BG，但﹣2a≠﹣3a，

∴此種情況不可能；

∴a=﹣1或-；

(3)∵BD=DG+BG=﹣5a，

∵點(diǎn)M是△OBD的外心，

∴點(diǎn)M在BD的垂直平分線上，OM=MD，

∴n=a，

∵M(m，n)，D(4，﹣2a)，

∴(﹣a)2+m2=(﹣a)2+(4﹣m)2，

∴8m=6a2+16，

∵n=a，

∴8m=24n2+16，

整理上式，得：m=3n2+2．