Question

【題目】如圖，線段BC=8,射線CG⊥BC，A為射線CG上一點，已知FA⊥AB且FA=AB，AE平分∠FAB,且E點滿足∠EBA=∠ABC.

（1）求證：△ABE≌△AFE.

（2）證明：FD⊥BC.

（3）求△BED的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）16

【解析】

（1）根據SAS即可證明；

（2）由（1）可得∠F=∠ABE，由已知∠ABE=∠ABC等量代換可得∠F=∠ABC，由對頂角三角形可得∠FDB=∠FAB=90°，即可得出結論；

（3）由（1）可得BE=EF，過A作AH垂直FD，可證△ABC≌△AFH，可得FH=BC=8，再由AH=AC=CD=DH可以推出BD+DF=2BC，即可得出答案．

解：（1）證明：∵AE平分∠FAB，∴∠FAE=∠BAE，

在△BAE和△FAE中

，

∴△BAE≌△FAE（SAS）；

（2）證明：∵△BAE≌△FAE，

∴∠F=∠ABE，

∵∠ABE=∠ABC，

∴∠F=∠ABC，

∵∠BID=∠FIA，

∴∠FDB=∠FAB=90°，

即FD⊥BC；

（3）解：∵△BAE≌△FAE，

∴BE=EF，

∴BD+DE+BE=BD+DF，

過A作AH⊥FD于H，

在△ABC與△AFH中，

∴△ABC≌△AFH（AAS），

∴FH=BC=8，

又∵AH=AC=CD=DH，

∴BD+DF=BD+CD+FH=2BC=16，

即△BED的周長為16．