Question

【題目】已知等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC，CD于點(diǎn)M、N．

（1）如圖①，當(dāng)M、N分別在邊BC，CD上時(shí)，作AE垂直于AN，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：△ABE≌△ADN；

（2）如圖②，當(dāng)M、N分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：MN+BM=DN；

（3）如圖③，當(dāng)M、N分別在邊CB，DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點(diǎn)，若MN=10，CM=8，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】試題分析：由同角的余角相等得到一對(duì)銳角相等，再由一對(duì)直角相等，又正方形的邊長(zhǎng)相等，利用ASA即可得到≌

在上截取連接首先證明≌再證為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；

連接AC，在中，由MN和CM的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CN的長(zhǎng)，根據(jù)圖3的結(jié)論等量代換即可求出BC的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，證明 且相似比為 在中，利用勾股定理求出AN的長(zhǎng)，代入比例式即可求出AP的長(zhǎng)．

試題解析：如圖1，

∵AE垂直于AN，

∵四邊形ABCD是正方形，

，

又

∴≌（ASA）；

（2）證明：如圖②，在上截取連接

∴≌

為等腰直角三角形，

∴AN為MG的垂直平分線，

，即

（3）如圖③，連接AC，同（2），證得

即

即，

在中，

根據(jù)勾股定理得即

又

在中，

根據(jù)勾股定理得

解得