Question

【題目】如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）、（0，4），拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線(xiàn)上．

（1）求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；

（3）若M點(diǎn)是CD所在直線(xiàn)下方該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，MN的長(zhǎng)度為l．求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x+4；（2）點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線(xiàn)上；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）已知了拋物線(xiàn)上A、B點(diǎn)的坐標(biāo)以及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程，可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式．

（2）首先求出AB的長(zhǎng)，將A、B的坐標(biāo)向右平移AB個(gè)單位，即可得出C、D的坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可．

（3）根據(jù)C、D的坐標(biāo)，易求得直線(xiàn)CD的解析式；那么線(xiàn)段MN的長(zhǎng)實(shí)際是直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的函數(shù)值的差，可將x=t代入兩個(gè)函數(shù)的解析式中，得出的兩函數(shù)值的差即為l的表達(dá)式，由此可求出l、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出l取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=上，

∴可設(shè)所求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y= （x-）2+m

∵點(diǎn)B（0，4）在此拋物線(xiàn)上，

∴4=×（-）2+m

∴m=-

∴所求函數(shù)關(guān)系式為：y= （x-）2-=x2-x+4

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB==5

∵四邊形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5

∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0）；

當(dāng)x=5時(shí)，y=×52-×5+4=4

當(dāng)x=2時(shí)，y=×22-×2+4=0

∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在所求拋物線(xiàn)上；

（3）設(shè)直線(xiàn)CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b′，

則；

解得：；

∴y=x-

∵MN∥y軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，

∴N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t；

則yM=t2-t+4，yN=t-，

∴l=yN-yM=t--（t2-t+4）=-t2+t-=- （t-）2+

∵-＜0，

∴當(dāng)t=時(shí)，l最大=，yM=t2-t+4=．

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．