【題目】如圖,在菱形ABCD中,AC為對角線,點E,F分別在AB,AD上,BE=DF,連接EF.
(1)求證:AC⊥EF;
(2)延長EF交CD的延長線于點G,連接BD交AC于點O,若BD=4,tanG=,求AO的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)AO=1。
【解析】
(1)由菱形的性質得出AB=AD,AC平分∠BAD,再根據等腰三角形的三線合一即可;
(2)根據菱形的性質和已知條件得出四邊形EBDG為平行四邊形,得出∠G=∠ABD,再根據tanG=即可求出AO的長.
(1)證明:∵四邊形ABCD為菱形 ∴AB=AD,AC平分∠BAD
∵BE=DF, ∴ , ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形, ∵AC平分∠BAD, ∴AC⊥EF
(2)解:如圖2所示:
∵四邊形ABCD為菱形,∴CG∥AB,BO=BD=2,∵EF∥BD
∴四邊形EBDG為平行四邊形,∴∠G=∠ABD,∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=,∴AO=1
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【題目】如圖,等邊三角形ABC的邊長是2,M是高CH所在直線上的一個動點,連接MB,將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接MN,則在點M運動過程中,線段MN長度的最小值是_____.
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【題目】某燈飾商店銷售一種進價為每件20元的護眼燈.銷售過程中發(fā)現(xiàn),每月銷售量(件)與銷售單價(元)之間的關系可近似地看作一次函數(shù).物價部門規(guī)定該品牌的護眼燈售價不能超過36元.
(1)如果該商店想要每月獲得2000元的利潤,那么銷售單價應定為多少元?
(2)設該商店每月獲得利潤為(元),當銷售單價定為多少元時,每月可獲得最大利潤?最大利潤為多少元?
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【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0).下列結論:①2a﹣b=0;②(a+c)2<b2;③當﹣1<x<3時,y<0;④當a=1時,將拋物線先向上平移2個單位,再向右平移1個單位,得到拋物線y=(x﹣2)2﹣2.其中正確的是( 。
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣4,0),B(1,0)兩點,過點B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點C,D.
(1)求直線和拋物線的表達式;
(2)動點P從點O出發(fā),在x軸的負半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動,設運動時間為t秒,當t為何值時,△PDC為直角三角形?請直接寫出所有滿足條件的t的值;
(3)如圖2,將直線BD沿y軸向下平移4個單位后,與x軸,y軸分別交于E,F(xiàn)兩點,在拋物線的對稱軸上是否存在點M,在直線EF上是否存在點N,使DM+MN的值最?若存在,求出其最小值及點M,N的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C(0,),與x軸交于A、B兩點,且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度向點A運動,同時點Q從點C出發(fā),以每秒v個單位的速度向y軸負方向勻速運動,運動時間為t秒,連接PQ交射線BC于點D,當點P到達點A時,點Q停止運動,以點P為圓心,PB為半徑的圓與射線BC交于點E.
①求BE的長;當t=1時,求DE的長;
②若在點P,Q運動的過程中,線段DE的長始終是一個定值,求v的值及DE長.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,反比例函數(shù)的圖象和都在第一象限內,,軸,且,點的坐標為.
(1)若反比例函數(shù)的圖象經過點B,求此反比例函數(shù)的解析式;
(2)若將向下平移(m>0)個單位長度,,兩點的對應點同時落在反比例函數(shù)圖象上,求的值.
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【題目】已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(不與點A,B重合),過點C作AB的垂線交⊙O于點D,垂足為E點.
(1)如圖1,當AE=4,BE=2時,求CD的長度;
(2)如圖2,連接AC,BD,點M為BD的中點.求證:ME⊥AC.
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【題目】為了解朝陽社區(qū)歲居民最喜歡的支付方式,某興趣小組對社區(qū)內該年齡段的部分居民展開了隨機問卷調查(每人只能選擇其中一項),并將調查數(shù)據整理后繪成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據圖中信息解答下列問題:
(1)求參與問卷調查的總人數(shù).
(2)補全條形統(tǒng)計圖.
(3)該社區(qū)中歲的居民約8000人,估算這些人中最喜歡微信支付方式的人數(shù).
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