Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），并且經(jīng)過點(diǎn)（4，2），直線與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，以BD為直徑作圓，圓心為點(diǎn)C，圓C與直線m交于對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)M（t，1），直線m上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：圓C與x軸相切；

（3）過點(diǎn)B作BE⊥m，垂足為E，再過點(diǎn)D作DF⊥m，垂足為F，求MF的值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，再結(jié)合拋物線過點(diǎn)（4，2），可求得拋物線的解析式；

（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)和線段BD的長(zhǎng)，可求得圓的半徑，可證得結(jié)論；

（3）過點(diǎn)C作CH⊥m于點(diǎn)H，連接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐標(biāo)可求得FH，則可求得MF和BE的長(zhǎng)，可求得其比值．

試題解析：

（1）∵已知拋物線（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），∴可設(shè)拋物線解析式為 ，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，2），∴，解得a=，∴拋物線解析式為，即；

（2）聯(lián)立直線和拋物線解析式可得，解得：或，∴B（，），D（，），∵C為BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為 =，∵BD= =5，∴圓的半徑為，∴點(diǎn)C到x軸的距離等于圓的半徑，∴圓C與x軸相切；

（3）如圖，過點(diǎn)C作CH⊥m，垂足為H，連接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．