【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處,折痕為PQ.過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F,連接BF
(1)若AP: BP=1:2,則AE的長(zhǎng)為 .
(2)求證:四邊形BFEP為菱形;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P,Q分別在邊AB、BC上移動(dòng),求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.
【答案】(1) cm,(2)證明見(jiàn)解析;(3)2cm;
【解析】
(1) 先根據(jù)AB=3cm,AP: BP=1:2,計(jì)算出AP、BP的長(zhǎng)度,再根據(jù)勾股定理即可求得AE的長(zhǎng)度;
(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng),進(jìn)而得到PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF,根據(jù)平行的性質(zhì)再證明BP=BF=EF=EP即可得到答案;
(3) 找到E點(diǎn)離A最近和最遠(yuǎn)的兩種情況,運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離;
解:(1)∵AB=3cm,
若AP: BP=1:2,則AP= ,BP=,
根據(jù)折疊的性質(zhì)得到:PE=PB=2cm,
又∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∴ ,
即:,
∴,即:,
故AE的長(zhǎng)為:cm;
(2)∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,
∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng).
∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.
又∵EF∥AB,
∴∠BPF=∠EFP(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),
∴∠EPF=∠EFP(等量替換),
∴EP=EF,
∴BP=BF=EF=EP(四邊相等的四邊形是菱形),
∴四邊形BFEP為菱形;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí),如圖2所示,此時(shí)點(diǎn)E離點(diǎn)A最近,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°.
∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱(chēng),
∴CE=BC=5cm,
在Rt△CDE中,
∴AE=AD-DE=5-4=1cm,此時(shí)AE=1cm;
當(dāng)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí),如圖3所示,點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn).
此時(shí)四邊形ABQE為正方形,AE=AB=3cm.
∴點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為2cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,AB//EF,∠2=2∠1
(1)證明∠FEC=∠FCE;
(2)如圖2,M為AC上一點(diǎn),N為FE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠FNM=∠FMN,則∠NMC與∠CFM有何數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各式,能用平方差公式計(jì)算的是( 。
A.(2a+b)(2b﹣a)B.(+1)(﹣-1)
C.(2a﹣3b)(﹣2a+3b)D.(﹣a﹣2b)(﹣a+2b)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要從甲、乙兩名同學(xué)中選出一名,代表班級(jí)參加射擊比賽,如圖是兩人最近10次射擊訓(xùn)練成績(jī)的折線統(tǒng)計(jì)圖.
(1)已求得甲的平均成績(jī)?yōu)?/span>8環(huán),求乙的平均成績(jī);
(2)觀察圖形,直接指出甲,乙這10次射擊成績(jī)的方差s甲2,s乙2哪個(gè)大?
(3)如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在7環(huán)左右,本班應(yīng)該選哪位參賽更合適?為什么?如果其他班級(jí)參賽選手的射擊成績(jī)都在9環(huán)左右,本班應(yīng)該選哪位參賽更合適?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中(請(qǐng)補(bǔ)畫(huà)出必要的圖形),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y= -2x+4與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),過(guò)線段OA的中點(diǎn)C作x軸的垂線l,分別與直線AB交于點(diǎn)D,與直線y=x+n交于點(diǎn)P。
(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo):A( ),B( ),C( ),D( )
(2)若△APD的面積等于1,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,△ABC的外角平分線BD交⊙O于D,DE∥AC交CB的延長(zhǎng)線于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠A=30°,求證:BD=BC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)幾何體由大小相同的正方體搭成,從上面看到的幾何體的形的形狀狀圖如圖所示,其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù),
(1)請(qǐng)畫(huà)出從正面和左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖.
(2)若每個(gè)小正方圖的棱長(zhǎng)都為1,則搭成的這個(gè)幾何體的體積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,,點(diǎn)B在x軸上,且.
求點(diǎn)B的坐標(biāo);
求的面積;
在y軸上是否存在P,使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為10?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一副三角板按如圖所示的方式擺放,其中△ABC為含有45°角的三角板,直線AD是等腰直角三角板的對(duì)稱(chēng)軸,且斜邊上的點(diǎn)D為另一塊三角板DMN的直角頂點(diǎn),DM、DN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.則下列四個(gè)結(jié)論:①BD=AD=CD;②△AED≌△CFD;③BE+CF=EF;④S四邊形AEDF=BC2.其中正確結(jié)論是_____(填序號(hào)).
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