【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線頂點為C(1,2),且與直線y=x交于點B(,);點P為拋物線上O,B兩點之間一個動點(不與O,B兩點重合),過P作PQ∥y軸交線段OB于點Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當PQ的長度為最大值時,求點Q的坐標;
(3)點M為拋物線上O,B兩點之間一個動點(不與O,B兩點重合),點N為線段OB上一個動點;當四邊形PQNM為平行四邊形,且PN⊥OB時,請直接寫出Q點坐標.
【答案】(1)y=﹣2x2+4x;(2)當PQ的長度為最大值時,點Q的坐標為(,);(3)點Q的坐標為(,)
【解析】
(1)由拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2(a≠0),代入點B的坐標即可求出a值,進而可得出拋物線的解析式;
(2)設點P的坐標為(x,﹣2x2+4x)(0<x<),則點Q的坐標為(x,x),進而可得出PQ=﹣2x2+3x,再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題;
(3)設點Q的坐標為(m,m),點N的坐標為(n,n),則點P的坐標為(m,﹣2m2+4m),點M的坐標為(n,﹣2n2+4n),根據(jù)平行四邊形的性質可得出m+n=,由PN⊥OB及直線OB的解析式可得出△PNQ為等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得出PQ=2(n﹣m),結合PQ=﹣2m2+3m,m+n=,即可得出關于m的一元二次方程,解之取大于0小于的值即可得出結論.
解:(1)∵拋物線頂點為C(1,2),
∴設拋物線的解析式為y=a(x﹣1)2+2(a≠0).
∵點B(,)在拋物線上,
∴=a(﹣1)2+2,
∴a=﹣2,
∴拋物線的解析式為y=﹣2(x﹣1)2+2,即y=﹣2x2+4x.
(2)設點P的坐標為(x,﹣2x2+4x)(0<x<),則點Q的坐標為(x,x),
∴PQ=﹣2x2+4x﹣x=﹣2x2+3x=﹣2(x﹣)2+.
∵﹣2<0,
∴當x=時,PQ的長度取最大值,
∴當PQ的長度為最大值時,點Q的坐標為(,).
(3)依照題意畫出圖形,如圖所示.
設點Q的坐標為(m,m),點N的坐標為(n,n),則點P的坐標為(m,﹣2m2+4m),點M的坐標為(n,﹣2n2+4n),
∴PQ=﹣2m2+3m,MN=﹣2n2+3n.
∵四邊形PQNM為平行四邊形,
∴PQ=MN,即﹣2m2+3m=﹣2n2+3n,
∴﹣2(m+n)(m﹣n)+3(m﹣n)=0.
∵m≠n,
∴m+n=,
∴n=﹣m.
∵直線OB的解析式為y=x,PN⊥OB,
∴△PNQ為等腰直角三角形,
∴PQ=NQ=2(n﹣m),即﹣2m2+3m=3﹣4m,
整理得:2m2﹣7m+3=0,
解得:m1=,m2=3(不合題意,舍去),
∴點Q的坐標為(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與軸交于兩點(在的左側),與軸交于點, 點與點關于拋物線的對稱軸對稱.
(1)求拋物線的解析式及點的坐標:
(2)點是拋物線對稱軸上的一動點,當的周長最小時,求出點的坐標;
(3)點在軸上,且,請直接寫出點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標系,一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C,請在網(wǎng)格中進行下列操作:
(1)在圖中確定該圓弧所在圓的圓心D點的位置,并寫出點D點坐標為________.
(2)連接AD、CD,求⊙D的半徑及的長;
(3)有一點E(6,0),判斷點E與⊙D的位置關系.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,AB=AC,點E、F分別為邊AB、BC上的點,且AE=BF,連接CE、AF交于點H,則下列結論:①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③△AEH∽△CEA;④AEAD=AHAF;其中結論正確的個數(shù)是( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點的坐標分別是A(﹣4,1),B(﹣1,2),C(﹣2,4).
(1)將△ABC向右平移4個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1,并寫出點B1的坐標;
(2)△A2B2C2和△A1B1C1關于原點O中心對稱,請畫出△A2B2C2,并寫出點C2的坐標;
(3)連接點A和點B2,點B和點A2,得到四邊形AB2A2B,試判斷四邊形AB2A2B的形狀(無須說明理由).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部新聞部辦公室2018年10月15日消息,江寧省發(fā)現(xiàn)疑似非洲豬瘟疫情,此次豬瘟疫情發(fā)病急,蔓延速度快.當政府和企業(yè)迅速進行了豬瘟疫情排查和處置,在疫情排查過程中,某農(nóng)場第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病,兩天后發(fā)現(xiàn)共有192頭生豬發(fā)病,
(1)求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬?
(2)若疫情得不到有效控制,3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會超過1500頭嗎?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃,其中一邊靠墻,另三邊用長為米的籬笆圍成,已知墻長為米(如圖所示),設這個苗圃垂直于墻的一邊的長為米.
(1)垂直于墻的一邊邊的長為多少米時,這個苗圃的面積最大,并求出這個最大值;
(2)當這個苗圃的面積不小于平方米時,試結合函數(shù)圖象,直接寫出的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市前年PM2.5的年均濃度為50微克/立方米,今年PM2.5的年均濃度下降到40.5微克/立方米,求這兩年PM2.5的年均濃度平均下降的百分率.試用列方程解應用題的方法求出問題的解。
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知AB是⊙O的直徑,AT是⊙O的切線,∠ABT=50°,BT交⊙O于點C,E是AB上一點,延長CE交⊙O于點D.
(1)如圖①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如圖②,當BE=BC,求∠CDO的大小.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com