Question

【題目】已知點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使得∠CEF=90°，過點(diǎn)E作ME∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．

①∠AEM=∠FEM； ②點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)；
（2）如圖2，若點(diǎn)E是OD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，且使 = = ，請(qǐng)判斷△EFC的形狀，并說明理由；

（3）如圖3，若E是OD上的動(dòng)點(diǎn)（不與O，D重合），連接CE，過E點(diǎn)作EF⊥CE，交AB于點(diǎn)F，當(dāng) = 時(shí)，請(qǐng)猜想 的值（請(qǐng)直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AE=CE，

∵M(jìn)E∥AD，

∴ME⊥AB，∠AME=∠BME=∠BAD=90°，∠ENC=∠ADC=90°，

∴△BME是等腰直角三角形，四邊形BCNM是矩形，

∴BM=EM，BM=CN，

∴EM=CN，

在Rt△AME和Rt△ENC中， ，

∴Rt△AME≌Rt△ENC（HL），

∴∠AEM=∠ECN，

∵∠CEF=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM=∠ECN，

∴∠AEM=∠FEM；

②在△AME和△FME中，∠AME=∠FME=90°，∠AEM=∠FEM，

∴∠EAF=∠EFA，

∴AE=FE，

∵M(jìn)E⊥AF，

∴AM=FM，

∴AF=2AM，

∵點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，

∴ = ，

∵M(jìn)E∥AD，

∴ = ，

∴ = ，

∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)；

（2）解：△EFC是等腰直角三角形；理由如下：

過點(diǎn)E作ME∥AD，交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．如圖所示：

同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，

∴∠AEM=∠ECN，

∵ = ，O是DB的中點(diǎn)，

∴ = ，

∵M(jìn)E∥AD，

∴ = ，

∵ = ，

∴AF=2AM，即M是AF的中點(diǎn)，

∵M(jìn)E⊥AB，

∴AE=FE，

∴∠AEM=∠FEM，F(xiàn)E=CE，

∵∠ECN+∠CEN=90°，

∴∠FEM+∠CEN=90°，

∴∠CEF=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形；

（3）解：當(dāng) = 時(shí)， = ；理由同（1）．

【解析】（1）由正方形的對(duì)稱性可知AE=CE，再結(jié)合其他條件可證出Rt△AME≌Rt△ENC，可得∠AEM=∠ECN，再由同角的余角相等證出結(jié)論；由平行線分線段成比例定理可得,DN=AM,AF=2AM,即AF=AB,即點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)；（2）模仿第（1）題的圖形，缺少過E的MN水平線，因此需要作這條輔助線，同（1）得：AE=CE，Rt△AME≌Rt△ENC，再模仿（1）的方法，運(yùn)用平行線分線段成比例定理，得出結(jié)論；（3）類比（1）.,二者存在2倍關(guān)系，可猜想,證法同（1），需作水平的MN線.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的性質(zhì)(對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形)，還要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．