Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（4，0）、C（0，3），點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，AM⊥BC于點(diǎn)M交y軸于點(diǎn)N（0， ）．已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，C．

（1）求拋物線的函數(shù)式．
（2）連接AC，點(diǎn)D在線段BC上方的拋物線上，連接DC，DB，若△BCD和△ABC面積滿足S△BCD= S△ABC ， 求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）如圖2，E為OB中點(diǎn)，設(shè)F為線段BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF．一動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)，沿線段EF以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿著線段PC以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止．若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少，請(qǐng)直接寫出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON= ，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴ = ，即 = ，解得OA=1，

∴A（﹣1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a1（﹣4）=3，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+3

（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3，

作PQ∥y軸交BC于Q，如圖1，設(shè)P（x，﹣ x2+ x+3），則Q（x，﹣ x+3），

DQ=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+3x，

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4（﹣ x2+3x）=﹣ x2+6x，

∵S△BCD= S△ABC，

∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，

整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）或（3，3）；

（3）解：設(shè)F（x，﹣ x+3），則EF= = ，CF= = x，

點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間t= EF+ ，

∴ EF+ ≥2 ，當(dāng)EF= CF時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)t最小，

即 x2﹣ x+13=（ x）2得x1=2，x2= （舍去），

∴點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用的最少時(shí)間2× ×2=3秒，此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2， ）．

【解析】（1）先證△AON∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得OA的長(zhǎng)，可得A的坐標(biāo)，從而設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣4），再把C的坐標(biāo)代入求出a的值，可得答案；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，作PQ∥y軸交BC于Q，設(shè)P，則Q，可表示出DQ，再由S△BCD=S△CDQ+S△BDQ和得到x的方程，解此方程求出x的值，即可得D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)E，表示出EF、CF的長(zhǎng)，再由題意得t=EF+，又，因?yàn)楫?dāng)EF=CF時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)t最小，進(jìn)而可得到關(guān)于x的方程，解方程求出符合條件的x值，進(jìn)而可得F的坐標(biāo).