Question

【題目】如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝120°，∠BOC＝∠AOD．

（1）求∠AOD的度數(shù)；

（2）若射線OB繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)20°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線OC以每秒旋轉(zhuǎn)15°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒（0＜t＜6），試求當(dāng)∠BOC＝20°時t的值；

（3）若∠AOB繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時∠COD繞點O以每秒旋轉(zhuǎn)10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒（0＜t＜18），OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，在旋轉(zhuǎn)的過程中，∠MON的度數(shù)是否發(fā)生改變？若不變，求出其值：若改變，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠AOD＝150°；（2）t＝2或t＝；（3）∠MON的度數(shù)不會發(fā)生改變，∠MON＝30°，理由見解析.

【解析】

（1）由角的和差倍分構(gòu)建方程求出∠AOD的度數(shù)為150°；

（2）分兩射線重合前后兩種情況，建立等量關(guān)系求出時間分別為t＝2或t＝；

（3）由角度的旋轉(zhuǎn)求出旋轉(zhuǎn)角的大小，角的和差，角平分線的定義求出∠MON的度數(shù)為30°．

解：如圖所示：

（1）設(shè)∠AOD＝5x°，

∵∠BOC＝∠AOD

∴∠BOC＝5x°＝3x°

又∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠DOC+∠BOC，

∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠DOC，

∴∠AOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC，

又∵∠AOC＝∠BOD＝120°，

∴5x+3x＝240

解得：x＝30°

∴∠AOD＝150°；

（2）∵∠AOD＝150°，∠BOC＝∠AOD，

∴∠BOC＝90°，

①若線段OB、OC重合前相差20°，則有：

20t+15t+20＝90，

解得：t＝2，

②若線段OB、OC重合后相差20°，則有：

20t+15t﹣90＝20

解得：t＝，

又∵0＜t＜6，

∴t＝2或t＝；

（3）∠MON的度數(shù)不會發(fā)生改變，∠MON＝30°，理由如下：

∵旋轉(zhuǎn)t秒后，∠AOD＝150°﹣5t°，∠AOC＝120°﹣5t°，∠BOD＝120°﹣5t°

∵OM、ON分別平分∠AOC、∠BOD

∴∠AOM＝∠AOC＝，

∠DON＝∠BOD＝

∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON

＝150°﹣5t°﹣﹣

＝30°．