【題目】如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c(c>0)的頂點為D,與y軸的交點為C.過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側(cè)),點B在AC的延長線上,連結(jié)OA,OB,DA和DB.
(1)如圖1,當AC∥x軸時,
①已知點A的坐標是(﹣2,1),求拋物線的解析式;
②若四邊形AOBD是平行四邊形,求證:b2=4c.
(2)如圖2,若b=﹣2,=,是否存在這樣的點A,使四邊形AOBD是平行四邊形?若存在,求出點A的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)①y=﹣x2﹣2x+1;②證明見解析;(2)存在這樣的點A,A(﹣,)
【解析】
(1)①由點A(﹣2,1)得到C(0,1),利用待定系數(shù)法即可求解;
②作DE⊥x軸于E,交AB于點F,利用頂點坐標及點C的坐標求得DF=,利用“AAS”證得△AFD≌△BCO,得到DF=OC,即可證得結(jié)論;
(2)由題意知頂點坐標D(﹣1,c+1),設(shè)點A(m,﹣m2﹣2m+c),利用“AAS”證得△AFD≌△BCO,作如圖的輔助線,證得△ANF∽△AMC,結(jié)合已知=,求得,利用比例線段即可求解.
(1)①∵AC∥x軸,點A(﹣2,1),
∴C(0,1),
將點A(﹣2,1),C(0,1)代入拋物線解析式中,得:
,
∴,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+1;
②如圖1,過點D作DE⊥x軸于E,交AB于點F,
∵AC∥x軸,
∴EF=OC=c,
∵點D是拋物線的頂點坐標,
∴D(,),
∴DF=DE﹣EF==,
∵四邊形AOBD是平行四邊形,
∴AD=OB,AD∥OB,
∴∠DAF=∠OBC,
∵∠AFD=∠BCO=90°,
∴△AFD≌△BCO(AAS),
∴DF=OC,
∴=c,
即b2=4c;
(2)如圖2,
∵b=﹣2.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+c,
∴頂點坐標D(﹣1,c+1),
假設(shè)存在這樣的點A使四邊形AOBD是平行四邊形,
設(shè)點A(m,﹣m2﹣2m+c)(m<0),
過點D作DE⊥x軸于點E,交AB于F,
∴∠AFD=∠EFC=∠BCO,
∵四邊形AOBD是平行四邊形,
∴AD=BO,AD∥OB,
∴∠DAF=∠OBC,
∴△AFD≌△BCO(AAS),
∴AF=BC,DF=OC,
過點A作AM⊥y軸于M,交DE于N,
∴DE∥CO,
∴△ANF∽△AMC,
∴=,
∵AM=﹣m,AN=AM﹣NM=﹣m﹣1,
∴,
∴,
∴點A的縱坐標為﹣(﹣)2﹣2×(﹣)+c=c﹣<c,
∵AM∥x軸,
∴點M的坐標為(0,c﹣),N(﹣1,c﹣),
∴CM=c﹣(c﹣)=,
∵點D的坐標為(﹣1,c+1),
∴DN=(c+1)﹣(c﹣)=,
∵DF=OC=c,
∴FN=DN﹣DF=﹣c,
∵=,
∴,
∴c=,
∴c﹣=,
∴點A縱坐標為,
∴A(﹣,),
∴存在這樣的點A,使四邊形AOBD是平行四邊形.
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【題目】如圖,在等腰中,,為邊上的高,分別為邊上的點,將分別沿折疊,使點落在的延長線上點處,點落在點處,連接,若,則的長是_________.
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【題目】2020年3月,我國湖北省A、B兩市遭受嚴重新冠肺炎影響,鄰近縣市C、D獲知A、B兩市分別急需救災(zāi)物資200噸和300噸的消息后,決定調(diào)運物資支援災(zāi)區(qū).已知C市有救災(zāi)物資240噸,D市有救災(zāi)物資260噸,現(xiàn)將這些救災(zāi)物資全部調(diào)往A、B兩市.已知從C市運往A、B兩市的費用分別為每噸20元和25元,從D市運往往A、B兩市的費用分別為每噸15元和30元,設(shè)從D市運往B市的救災(zāi)物資為x噸.
(1)設(shè)C、D兩市的總運費為w元,求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)經(jīng)過當?shù)卣拇罅χС,?/span>D市到B市的運輸時間縮短了,運費每噸減少m元(m>0),其余路線運費不變.若C、D兩市的總運費的最小值不小于10320元,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓,∠ABC的平分線交⊙O于點D,過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AB=25,BC=,求DE的長.
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【題目】如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,Rt△OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上,點A在第一象限,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過OA的中點C.交AB于點D,連結(jié)CD.若△ACD的面積是2,則k的值是_____.
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【題目】定義:點是軸上一點,將函數(shù)的圖象位于直線右側(cè)部分,以軸為對稱軸翻折,得到新的函數(shù)的圖象,我們稱函數(shù)是函數(shù)的相關(guān)函數(shù),函數(shù)的圖象記作,函數(shù)的圖象未翻折部分記作,圖象和起來記作圖象.
例如:函數(shù)的解析式為,當時,它的相關(guān)函數(shù)的解析式為
(1)如圖,函數(shù)的解析式為,當時,它的相關(guān)函數(shù)的解析式為_________;
(2)函數(shù)的解析式為,當時,圖象上某點的縱坐標為2,求該點的橫坐標;
(3)函數(shù)的解析式為,
①已知點A、B的坐標分別為、,當時,且圖像與線段只有一個共點時,結(jié)合函數(shù)圖象,求的取值范圍;
②若,點是圖象上任意一點,當時,的最大值始終保持不變,求的取值范圍(直接寫出結(jié)果).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C為⊙O上一點,連接AC,CE⊥AB于點E,D是直徑AB延長線上一點,且∠BCE=∠BCD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若AD=8,=,求CD的長.
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【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(m,6),B(3,n)兩點.
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)求的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出的x的取值范圍
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【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式變得更多樣、便捷.某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了“你最喜歡的溝通方式”調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息回答下列問題:
(1)本次調(diào)查共調(diào)查了______名學(xué)生;在扇形統(tǒng)計圖中,表示“QQ”的扇形圓心角的度數(shù)為______;
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)該校共有1500名學(xué)生,請估計該校最喜歡用“微信”溝通的學(xué)生有多少名?
(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從“微信”、“QQ”、“電話”三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選擇同一種溝通方式的概率.
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