Question

【題目】我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“轉(zhuǎn)化”（或“化歸”）的思想方法，即把待解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化歸結(jié)到一類已解決或比較容易解決的問(wèn)題．

譬如，求解一元二次方程，通常把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；求解分式方程，通常把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，只是因?yàn)榉质椒匠獭叭シ帜浮睍r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．

請(qǐng)你運(yùn)用上述把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的數(shù)學(xué)思想，解決下列問(wèn)題．

（1）解方程：x3+x2﹣2x＝0；

（2）解方程：＝x；

（3）如圖，已知矩形草坪 ABCD 的長(zhǎng) AD＝8m，寬 AB＝3m，小華把一根長(zhǎng)為10m 的繩子的一端固定在點(diǎn) B，沿草坪邊沿 BA、AD 走到點(diǎn) P 處，把長(zhǎng)繩 PB 段拉直并固定在點(diǎn) P，然后沿草坪邊沿 PD、DC 走到點(diǎn) C 處，把長(zhǎng)繩剩下的一段拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn) C．求 AP 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；（2）x＝3；（3）AP 的長(zhǎng)為 4m．

【解析】

（1）因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；

（2）兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解，注意驗(yàn)根；

（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根號(hào)，兩邊平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可.

（1）x3+x2-2x=0，

x（x2+x-2）=0，

x（x+2）（x-1）=0

所以x=0或x+2=0或x-1=0

∴x1=0，x2=-2，x3=1；

（2）=x，

方程的兩邊平方，得2x+3=x2

即x2-2x-3=0

（x-3）（x+1）=0

∴x-3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=-1，

當(dāng)x=-1時(shí)，==1≠-1，

所以-1不是原方程的解．

所以方程=x的解是x=3；

（3）因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m，

設(shè)AP=xm，則PD=（8-x）m，

因?yàn)?/span>BP+CP=10，

BP=，CP=，

∴=10，

∴，

兩邊平方，得（8-x）2+9=100-20+9+x2

整理，得5=4x+9

兩邊平方并整理，得x2-8x+16=0

即（x-4）2=0

所以x=4．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是方程的解．

答：AP的長(zhǎng)為4m．