Question

【題目】長(zhǎng)方形為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)在第三象限．

（1）如圖1，若過(guò)點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方形的邊交于點(diǎn)且將長(zhǎng)方形的面積分為兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且是軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的值是否變化？若不變求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（0，-）；（2） ．

【解析】

（1）利用長(zhǎng)方形OABC的面積分為1：4兩部分，得出等式求出AP的長(zhǎng)，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出PC的長(zhǎng)，即可得出OP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，得出答案．

（1）如圖1，若過(guò)點(diǎn)B的直線BP與邊OA交于點(diǎn)P，依題意可知：×AB×AP=×OA×OC，

即×3×AP=×5×3，
∴AP=2
∵OA=5，
∴OP=3，
∴P（-3，0），
若過(guò)點(diǎn)B的直線BP與邊OC交于點(diǎn)P，依題意可知：×BC×PC=×OA×OC，
即×5×PC=×5×3，
∴PC=
∵OC=3，
∴OP=，
∴P（0，-）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（0，-）．
（2）如圖2，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，
∵四邊形OABC為長(zhǎng)方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB．
過(guò)點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，
∴∠EMC=∠MCD．
又∵CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC．
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠AMC-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠BMC-2∠EMC=2∠D，
∴ ．