【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+aa>0)分別與x 軸、y 軸交于AB 兩點,C、D 的坐標(biāo)分別為 C(0,b)、D(2a,ba)(ba

(1)試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由;

(2)若點C、D關(guān)于直線AB的對稱點分別為C′、D

①當(dāng)b=3時,試問:是否存在滿足條件的a,使得BCD面積為

②當(dāng)點C恰好落在x軸上時,試求a b的函數(shù)表達式.

【答案】(1)四邊形ABCD是平行四邊形,理由見解析;(2)①不存在滿足條件的a,使得BC'D'的面積為;a b的函數(shù)表達式a=b(b>0)

【解析】

1)先利用坐標(biāo)軸上點的特點確定出點AB坐標(biāo),進而得出BCba,再利用點AD坐標(biāo)的得出ADbaBC,另為利用A,D點的坐標(biāo)特點得出ADBC即可得出結(jié)論;

2利用對稱性和(1)中得出的四邊形ABCD是平行四邊形,即可得出SBC'D'SBCD,根據(jù)三角形的面積公式得出SBC'D'a3a),建立方程,判斷出此方程無解,即可得出不存在滿足條件的a,使得△BCD′面積為

利用同角的余角相等得出,∠CC'O=∠ABO進而得出∠△CC'O∽△ABO,得出C'O,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

1)四邊形ABCD是平行四邊形,理由如下:

∵直線yx+aa0)分別與x 軸、y 軸交于AB 兩點,∴A2a0),B0,a).

C0,b)、(ba),∴BCba

D2aba),∴ADbaBC

A2a0),D2aba),∴ADBC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.

2不存在滿足條件的a,使得△BC'D'的面積為,理由如下:

如圖1,連接BD,BD',過點DDEy軸于E,∴DEOA2a

∵點CD關(guān)于直線AB的對稱點分別為C′、D′,∴S平行四邊形ABC'D'S平行四邊形ABCD

DBBD'分別是平行四邊形ABCD,ABC'D的對角線,∴SBC'D'SBCDBCDEba2aaba).

b3,∴SBC'D'a3a),假設(shè)存在存在滿足條件的a,使得△BCD′面積為,∴a3a,∴2a26a+5=/span>0,而△=364×2×5=﹣40,∴此方程無解,假設(shè)錯誤,∴不存在滿足條件的a,使得△BC'D'的面積為;

如圖2,連接CC',則直線AB垂直平分線CC',∴∠CC'O+C'AB90°.

∵∠C'AB+ABO90°,∴∠CC'O=∠ABO

∵∠COC'=∠AOB90°,∴△CC'O∽△ABO,∴,∴,∴C'O,由軸對稱的性質(zhì)得:BC'BCba.在RtBC'O中,OB2+C'O2C'B2,∴a2+2=(ba2,∴3b28abb3b8a)=0

ba0,∴3b8a0,∴,∴a b的函數(shù)表達式abb0).

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