【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等,則稱這個點(diǎn)為“美好點(diǎn)”,如圖,過點(diǎn)P分別作x軸,y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等,則P為“美好點(diǎn)”.
(1)在點(diǎn)M(2,2),N(4,4),Q(﹣6,3)中,是“美好點(diǎn)”的有 ;
(2)若“美好點(diǎn)”P(a,﹣3)在直線y=x+b(b為常數(shù))上,求a和b的值;
(3)若“美好點(diǎn)”P恰好在拋物線y=x2第一象限的圖象上,在x軸上是否存在一點(diǎn)Q使得△POQ為直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)N、Q;(2)a=6,b=﹣9或a=﹣6,b=3;(3)存在,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6,0)或(,0).
【解析】
(1)根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義逐個驗證即可;
(2)對于P點(diǎn),對應(yīng)圖形的周長為:2×(|a|+3)=2|a|+6,面積為3|a|,因為點(diǎn)P是“美好點(diǎn)”,故2|a|+6=3|a|,即可求解;
(3)根據(jù)點(diǎn)P是“美好點(diǎn)”確定點(diǎn)P的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0),再分以下三種情況:當(dāng)∠POQ=90°時,此種情況不存在;當(dāng)∠PQO=90°時,則PO2=PQ2+OQ2;當(dāng)∠OPQ=90°時,則OQ2=PQ2+OP2,分別列出關(guān)于x的方程,解得x即可.
解:(1)對于M點(diǎn),對應(yīng)圖形的周長為:2×(2+2)=8,面積為2×2=4≠8,故點(diǎn)M不是“美好點(diǎn)”;
對于點(diǎn)N,對應(yīng)圖形的周長為:2×(4+4)=16,面積為4×4=16,故點(diǎn)N是“美好點(diǎn)”;
對于點(diǎn)Q,對應(yīng)圖形的周長為:2×(6+3)=18,面積為6×3=18,故點(diǎn)Q是“美好點(diǎn)”;
故答案為:N、Q;
(2)對于P點(diǎn),對應(yīng)圖形的周長為2×(|a|+3)=2|a|+6,面積為3|a|,
∵點(diǎn)P是“美好點(diǎn)”,
∴2|a|+6=3|a|,解得:a=±6,
將P(a,﹣3)代入y=x+b得:﹣3=a+b,則b=﹣3﹣a,
∴當(dāng)a=6時,b=-9;當(dāng)a=-6時,b=3,
故a=6,b=﹣9或a=﹣6,b=3;
(3)存在,理由如下:
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),則n=m2(m>0,n>0),
由題意得:2m+2n=mn,∴2m+m2=m3,
解得:m=6或﹣4(舍去)或0(舍去),
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,3);
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0),
則PQ2=(x﹣6)2+32=(x﹣6)2+9,
PO2=36+9=45,
OQ2=x2,
當(dāng)∠POQ=90°時,∵點(diǎn)Q在x軸上,則∠POQ≠90°,此種情況不存在;
當(dāng)∠PQO=90°時,則PO2=PQ2+OQ2,∴45=(x﹣6)2+9+ x2,解得x=6或x=0(舍去);
當(dāng)∠OPQ=90°時,則OQ2=PQ2+OP2,∴x2=(x﹣6)2+9+45,解得x=;
綜上所述,符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:(6,0)或(,0).
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【題目】解不等式組
請結(jié)合題意填空,完成本題的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得______________________;
(Ⅱ)解不等式②,得____________________;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:
(Ⅳ)原不等式組的解集為_______________________.
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,BC=2,點(diǎn)P,Q均為AB邊上的動點(diǎn),BE⊥CP,垂足為E,則QD+QE的最小值為( )
A.2B.3C.D.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和兩點(diǎn),記一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,連接
(1)求與的值;
(2)求證:
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【題目】如圖,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣4,0),(0,4),C、F分別是直線x=6和x軸上的動點(diǎn),CF=12,D是CF的中點(diǎn),連接AD交y軸與點(diǎn)E,△ABE面積的最小值為_____cm.
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【題目】如圖所示,已知Rt△ABC中,∠B=90°,BC=4,AB=4,現(xiàn)將△ABC沿BC方向平移到△A′B′C′的位置.若平移的距離為3,則△ABC與△A′B′C′重疊部分的陰影面積為__.
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【題目】已知,拋物線y=m與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(其中點(diǎn)A在y軸左側(cè),點(diǎn)B在y軸右側(cè)).
(1)若拋物線y=m的對稱軸為直線x=1,求拋物線的解析式;
(2)如圖1,∠ACB=90°,點(diǎn)P是拋物線y=m上的一點(diǎn),若S△BCP=,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D,若點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為﹣m,求直線AD的解析式.
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【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形,給出如下定義:若圖形上存在兩個點(diǎn),使得是邊長為2的等邊三角形,則稱點(diǎn)是圖形的一個“和諧點(diǎn)”.
已知直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)的半徑為.
(1)若,在點(diǎn)中,直線的和諧點(diǎn)是___________;
(2)若上恰好存在2個直線的和諧點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若,線段上存在的和諧點(diǎn),直接寫出的取值范圍.
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【題目】廣州融創(chuàng)樂園是國內(nèi)首個以南越文化、嶺南風(fēng)格為主題的游樂園,自2019年6月開園以來受到了國內(nèi)外游客的熱捧.某旅游團(tuán)組織一批游客游玩了樂園內(nèi)的四個網(wǎng)紅項目,“A.雙龍飛舞”、“B.飛躍廣東”、“C.云霄塔”、“D.怒?駶,并進(jìn)行了“我最喜歡的一個項目”的投票評選活動,投票結(jié)果繪制成以下兩幅尚未完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)參與投票的游客總?cè)藬?shù)為 人;
(2)扇形統(tǒng)計圖中B所對的圓心角度數(shù)為 度,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)從投票給“雙龍飛舞“的3名男生和1名女生中隨機(jī)抽取2名了解情況,請你用列舉法求恰好抽到1男1女的概率.
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