Question

【題目】如圖1，經過原點O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數(shù)，a≠0）與x軸相交于另一點A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內和此拋物線相交于點B（5，t），與拋物線的對稱軸相交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點P，使以點P、O、C為頂點的三角形與以點A、O、B為頂點的三角形相似，求滿足條件的點P的坐標；

（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點M，與x軸下方的拋物線相交于點N，過點N作NE⊥x軸于點E．把△MEN沿直線l′折疊，當點E恰好落在拋物線上時（圖2），求直線l′的解析式；

（4）在（3）問的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點K，把△MOK繞點O順時針旋轉90°得到△M′OK′，點F為直線l′上的動點．當△M'FK′為等腰三角形時，求滿足條件的點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=；（2）點P坐標為（5，0）或（，0）（3）y=x﹣2；（4）F坐標為（1，0）或（﹣1，﹣2）.

【解析】（1）應用待定系數(shù)法進行求解即可得；

（2）分兩種情況△OBA∽△OCP、△OBA∽△OPC分別討論進行求解即可；

（3）由已知直線l′與x軸所夾銳角為45°，△EMN為等腰直角三角形，當沿直線l′折疊時，四邊形ENE′M為正方形，表示點N、E′坐標帶入拋物線解析式，可解；

（4）由（3）圖形旋轉可知，M′K′⊥直線l′，△M'FK′只能為等腰直角三角形，則分類討論可求解．

（1）由已知點B坐標為（5，5）

把點B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）由（1）拋物線對稱軸為直線x=，則點C坐標為（，），

∴OC=，OB=5，

當△OBA∽△OCP時，，∴，∴OP=，

當△OBA∽△OPC時，，∴，∴OP=5，

∴點P坐標為（5，0）或（，0）；

（3）設點N坐標為（a，b），直線l′解析式為：y=x+c，

∵直線l′y=x+c與x軸夾角為45°，

∴△MEN為等腰直角三角形，

當把△MEN沿直線l′折疊時，四邊形ENE′M為正方形，

∴點′E坐標為（a﹣b，b），

∵EE′平行于x軸，

∴E、E′關于拋物線對稱軸對稱，

∵，

∴b=2a﹣3，

則點N坐標可化為（a，2a﹣3），

把點N坐標代入y=得：2a﹣3=，

解得：a1=1，a2=6，

∵a=6時，b=2a﹣3=﹣9＜0，

∴a=6舍去，

則點N坐標為（1，﹣1），

把N坐標帶入y=x+c，則c=﹣2，

∴直線l′的解析式為：y=x﹣2；

（4）由（3）K點坐標為（0，﹣2），

則△MOK為等腰直角三角形，

∴△M′OK′為等腰直角三角形，M′K′⊥直線l′，

∴當M′K′=M′F時，△M'FK′為等腰直角三角形，

∴F坐標為（1，0）或（﹣1，﹣2）.