Question

【題目】如圖1，已知二次函數(shù)(為常數(shù)，)的圖象過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，函數(shù)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．直線的解析式為

求二次函數(shù)的解析式；

直線沿軸向右平移，得直線，與線段相交于點(diǎn)，與軸下方的拋物線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，把沿直線折疊，當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)時(shí)(圖求直線的解析式；

在的條件下，與軸交于點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，P為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）先得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再將代入求解即可；

（2）設(shè)直線的解析式為，從而可得點(diǎn)B、的坐標(biāo)，再根據(jù)翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得四邊形是矩形，然后根據(jù)對(duì)稱性得出點(diǎn)E、C的坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)C、的縱坐標(biāo)相等列出等式求解即可；

（3）先根據(jù)直線的解析式得出點(diǎn)B、N的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰三角形的定義，分三種情況，分別根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可．

（1）由題意得：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即

由此可設(shè)拋物線的解析式為

把代入得，解得

則拋物線的解析式為，即；

（2）設(shè)直線沿軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，則直線的解析式為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

由題意得：，四邊形是矩形

點(diǎn)C與點(diǎn)均在拋物線上

點(diǎn)C與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱

點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)C的坐標(biāo)為

則

解得或（不符題意，舍去）

故直線的解析式為；

（3）由（2）可知，直線的解析式為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為

令得，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為

是等腰直角三角形

把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

則點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)

則

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當(dāng)時(shí)，即

則

解得

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

②當(dāng)時(shí)，即

則

解得

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

③當(dāng)時(shí)，即

則

整理得，此方程的根的判別式，則此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

即此時(shí)沒(méi)有滿足條件的點(diǎn)P

綜上，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或

．