【題目】如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2-4分別與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說(shuō)明理由.

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合),使得以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)△BCM是直角三角形;(3)N(, )或N(, )或N(﹣2,﹣3).

【解析】試題分析:(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;

2)由拋物線解析式確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),用勾股定理的逆定理即可;

3)根據(jù)題意判斷出點(diǎn)N只能在x軸上方的拋物線上,由已知四邊形的面積相等轉(zhuǎn)化出SABN=SBCM,然后求出三角形BCM的面積,再建立關(guān)于點(diǎn)N的坐標(biāo)的方程求解即可.

試題解析:(1拋物線y軸相交于點(diǎn)C0,﹣3),﹣3=a﹣4,a=1拋物線解析式為,即;

2△BCM是直角三角形.理由:

由(1)有,拋物線解析式為,頂點(diǎn)為M的拋物線M﹣1,﹣4),由(1)拋物線解析式為,令y=0,=﹣3, =1A1,0),B﹣3,0),=9+9=18, =1+1=2=4+14=20,,∴△BCM是直角三角形;

3)存在.以點(diǎn)A,B,CN為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等,且點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),分兩種情況討論:

點(diǎn)Nx軸上方的拋物線上,如圖,由(2)有BCM是直角三角形, =18, =2,BC=,CM=,SBCM=BC×CM==3,設(shè)Nm,n),以點(diǎn)A,BC,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等,SABN+SABC=SBCM+SABC,SABN=SBCM=3,A1,0),B﹣3,0),AB=4,SABN=×AB×n=×4×n=2n=3,n=N在拋物線解析式為的圖象上,m1=,m2=,N, )或N, );

如圖2,點(diǎn)Nx軸下方的拋物線上,點(diǎn)C在對(duì)稱軸的右側(cè),點(diǎn)N在對(duì)稱軸右側(cè)不存在,只有在對(duì)稱軸的左側(cè),過點(diǎn)MMNBC,交拋物線于點(diǎn)N,B﹣3,0),C0﹣3),直線BC解析式為y=﹣x﹣3,設(shè)MN的解析式為y=﹣x+b,拋物線解析式為,M﹣1,﹣4),直線MN解析式為y=﹣x﹣5,聯(lián)立①②得:,解得: (舍),,N﹣2,﹣3).

綜上所述:N, )或N, )或N﹣2﹣3).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)k,b的值;

(2)P為直線AB上一點(diǎn),PC⊥x軸于點(diǎn)C,PD⊥y軸于點(diǎn)D,若四邊形PCOD為正方形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形 ABPC的面積最大,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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班級(jí)

七(1)

七(2)

七(3)

七(4)

七(5)

七(6)

七(7)

七(8)

七(9)

七(10)

得分

85

90

90

100

80

100

90

80

85

90

(1)寫出表格中得分的眾數(shù)、中位數(shù);

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