【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C(0,3),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線BC的上方.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)連接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C,那么是否存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形 ABPC的面積最大,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;(2)存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(, );(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(, ),四邊形ABPC面積的最大值為.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)菱形的對角線互相平分,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)值與自變量的對應(yīng)關(guān)系,可得答案;

(3)根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得m的值,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系,可得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1)將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得 ,解得 ,

所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3;

(2)如圖,存在點(diǎn)P,使四邊形POP′C為菱形.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3),PP′交CO于E,

若四邊形POPC是菱形,則有PC=PO,

連接PP則PE⊥CO于E,

∴OE=CE=,

∴y=,

∴-x2+2x+3=,

解得x1=,x2=(不合題意,舍去),

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(, );

(3)如圖1,

過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q,與OB交于點(diǎn)F,設(shè)P(x,﹣x2+2x+3)

易得,直線BC的解析式為y=﹣x+3.

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,﹣x+3).

PQ=﹣x2+3x.

S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=ABOC+QPBF+QPOF=×4×3+(﹣x2+3x)×3=﹣(x﹣2+,

當(dāng)x=時(shí),四邊形ABPC的面積最大,

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(, ),四邊形ABPC面積的最大值為

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(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由.

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合),使得以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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