Question

【題目】（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；

（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．

試題解析：（1）證明：連接OE、EC．

∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D為BC的中點(diǎn)，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．

∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知：∠BEC=90°．在Rt△BEC與Rt△BCA中，∵∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE：BC=BC：BA，∴BC2=BEBA．∵AE：EB=1：2，設(shè)AE=x，則BE=2x，BA=3x．∵BC=6，∴62=2x3x，解得：x=，即AE=，∴AB=，∴AC==，∴⊙O的半徑=．