Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，⊙A的半徑為1，圓心A點的坐標為（1，﹣2）．直線OM是一次函數(shù)y=x的圖像．讓⊙A沿y軸正方向以每秒1個單位長度移動，移動時間為t．

（1）填空：

①直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為 °；

②當t= 時，⊙A與坐標軸有兩個公共點；

（2）求出運動過程中⊙A與直線OM相切時的t的值．

Answer 1

【答案】（1）①45；②1秒或2秒或3秒；（2） 或．

【解析】

（1）①利用直線y=x上點的坐標特征易得直線y=x為第一、三象限的角平分線，則直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；

②根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到⊙A沿y軸正方向運動時，⊙A始終與y軸相切，所以當⊙A與x軸相切或點A在x軸上時，⊙A與坐標軸有兩個公共點，易得t=1或t=2或t=3；

（2）分兩種情況畫出圖形，解答即可．

（1）①∵直線y=x上點到x軸和y軸的距離相等，∴直線y=x為第一、三象限的角平分線，∴直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°；

②∵⊙A的半徑為1，圓心A點的坐標為（1，﹣2），∴⊙A沿y軸正方向運動時，⊙A始終與y軸相切，當⊙A與x軸相切或點A在x軸上時，⊙A與坐標軸有兩個公共點．

當⊙A與x軸相切時，則點A與x軸的距離為1，得到t=1或3；

當點A在x軸上，則t=2；

所以t=1或t=2或t=3．

故答案為：45，1秒或2秒或3秒；

（2）分兩種情況討論：

①如圖1，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，AH⊥x軸于H，交直線OM于P，則OB=t﹣2，AB=AC=1，OH=1．

∵直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°，∴∠POH=45°，∴∠OPH=45°，∴∠APC=45°，∴△OPH和△APC都是等腰直角三角形，∴PH=OH=1，APAC，∴AH=AP+PH1，而AH=OB，∴t﹣2，∴t=；

②如圖2，作AB⊥y軸于B，AC⊥直線OM于C，CD⊥x軸于D，CD交BA與F，則OB=DF=2﹣t，AB=AC=1．

∵OB、OC都是⊙A的切線，∴OB=OC=2﹣t．

∵直線OM與x軸所夾的銳角度數(shù)為45°，∴∠COD=45°，∴△ODC是等腰直角三角形，∠OCD=45°，∴OD=CD==．

∵∠OCA=90°，∠OCD=45°，∴∠ACF=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴ACAF．

∵AF=BA-BF=，∴=1，解得：∴2﹣t=，∴t=．

綜上所述：或．