【題目】正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A,將正方形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,連結(jié)DF,BF,如圖.
(1)若α=0°,則DF=BF,請加以證明;
(2)試畫一個(gè)圖形(即反例),說明(1)中命題的逆命題是假命題;
(3)對于(1)中命題的逆命題,如果能補(bǔ)充一個(gè)條件后能使該逆命題為真命題,請直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個(gè)條件,不必說明理由.

【答案】
(1)證明:如圖1,∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形,

∴AG=AE,AD=AB,GF=EF,∠DGF=∠BEF=90°,

∴DG=BE,

在△DGF和△BEF中,

,

∴△DGF≌△BEF(SAS),

∴DF=BF


(2)解:圖形(即反例)如圖2,


(3)解:補(bǔ)充一個(gè)條件為:點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi);

即:若點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi),DF=BF,則旋轉(zhuǎn)角α=0°


【解析】(1)利用正方形的性質(zhì)證明△DGF≌△BEF即可;(2)當(dāng)α=180°時(shí),DF=BF.(3)利用正方形的性質(zhì)和△DGF≌△BEF的性質(zhì)即可證得是真命題.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和命題與定理,掌握正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形;我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題,那么另一個(gè)叫做它的逆命題;經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理即可以解答此題.

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(1)求∠CAO′的度數(shù).
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