Question

在圖1至圖3中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段CE的中點(diǎn)．四邊形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中點(diǎn)是M，FH的中點(diǎn)是P．

   （1）如圖1，點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，根據(jù)圖形填空：

①△BMF是   三角形；

②MP與FH的位置關(guān)系是    ，MP與FH的數(shù)量關(guān)系是    ；

   （2）將圖1中的CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖2，解答下列問題：

        ① 證明：△BMF是等腰三角形；

        ②（1）中得到的MP與FH的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；

 （3）將圖2中的CE縮短到圖3的情況，（2）中的三個(gè)結(jié)論還成立嗎？（成立的不需要說明理由，不成立的需要說明理由）

 

Answer 1

（1）①等腰直角；②MP⊥FH，MP=FH；（3分）

（2）①∵B、D、M分別是AC、CE、AE的中點(diǎn)，∴MB∥CD，且MB=CD=BC = BF，∴△BMF是等腰三角形（5分）；

② 仍然成立．證明：如圖，連接MH、MD，設(shè)FM與AC交于點(diǎn)Q．由①可知MB∥CD，MB=CD，∴四邊形BCDM是平行四邊形（6分），∴ ∠CBM =∠CDM．

又∵∠FBQ =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH，

∴△FBM ≌ △MDH（7分 )，∴FM = MH，

且∠MFB =∠HMD，∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =

∠AQM－∠MFB =∠FBP = 90°，∴△FMH是等腰直角三角形（9分 )．

∵P是FH的中點(diǎn)，∴MP⊥FH，MP=FH（10分 )；

（3）△BMF不是等腰三角形（11分 )，理由：MB=CD≠BC = BF且∠FBM＞90°（12分，必須同時(shí)正確才能得1分 )；MP⊥FH仍然成立（13分 ),MP=FH仍然成立（14分 )．