Question

【題目】探究題
（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E，使DE=AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．

（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連結(jié)EF．請判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△ADC與△EDB中， ，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣AC＜AE＜AC+AB，

∴4＜AE＜16，

∵AE=2AD

∴2＜AD＜8，

即：BC邊上的中線AD的取值范圍2＜AD＜8；

（2）

解：BE+CF＞EF．

理由：如圖②，

過點B作BG∥AC交FD的延長線于G，

∴∠DBG=∠DCF．

∵D為BC的中點，

∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD與△CFD中，

∴△BGD≌△CFD（ASA）．

∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥DF，

∴EG=EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF．

【解析】（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出即可；（2）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；再利用全等的性質(zhì)可得GD=FD，再有DE⊥GF，從而得出EG=EF，兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．