Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點，HA=EB=FC=GD，連接EG，FH，交點為O．

（1）如圖2，連接EF，FG，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結論；
（2）將正方形ABCD沿線段EG，HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一個四邊形．若正方形ABCD的邊長為3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2 ．

Answer 1

【答案】
（1）四邊形EFGH是正方形．

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，

∵HA=EB=FC=GD，

∴AE=BF=CG=DH，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵△DHG≌△AEH，

∴∠DHG=∠AEH，

∵∠AEH+∠AHE=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴四邊形EFGH是正方形

（2）1
【解析】解：（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，

∴GF=EF=EH=GH= ，

∵由（1）知，四邊形EFGH是正方形，

∴GO=OF，∠GOF=90°，

由勾股定理得：GO=OF= ，

∵S四邊形FCGO= ×1×2+ × × = ，

∴S陰影= ﹣S四邊形FCGO×4=10﹣9=1．

（1）抓住已知條件先證明∠A=∠B=∠C=∠D=90°，HA=EB=FC=GD，AE=BF=CG=DH，進而得出△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，證得EF=FG=GH=HE，證得四邊形EFGH是菱形，再證明有一個角是直角，即可得出結論。
（2）利用勾股定理得出GF=EF=EH=GH的長，由（1）知，四邊形EFGH是正方形，得到GO=OF，∠GOF=90°，進而求出OG、OF的長，就可以求出四邊形FCGO的面積，即可求出陰影部分的面積。