Question

【題目】兩個(gè)全等的△ABC和△DEF重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進(jìn)行如下變換：
（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng)），連接AF、AD、BD，請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBD是什么特殊四邊形？請給出證明；

（3）當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，猜想△ABC應(yīng)滿足什么條件？請直接寫出結(jié)論：在此條件下，將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在FA的延長線上的點(diǎn)G處，連接CG，請?jiān)趫D3位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：S△ABC=S四邊形AFBD，理由如下：

由題意可得：AD∥EC，

則S△ADF=S△ABD，

故S△ACF=S△ADF=S△ABD，

則S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFBD是平行四邊形，理由如下：

∵F為BC的中點(diǎn)，

∴CF=BF，

∵CF=AD，

∴AD=BF，由平移可知AD∥BF，

∴四邊形AFBD為平行四邊形；

（3）解：如圖3所示：△ABC為等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°；理由如下：

由（2）得：四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，

∴AF⊥BC，

∴平行四邊形AFBD為矩形，

∵∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，

∴AF= BC=BF，

∴四邊形AFBD是正方形；

設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，

由勾股定理得：CG= = k，

sin∠CGF= = = ．

【解析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系得出答案；（2）證出AD=BF，由平移可知AD∥BF，利用平行四邊形的判定得出四邊形AFBD為平行四邊形即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形，由等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC，證出平行四邊形AFBD為矩形，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AF= BC=BF，得出四邊形AFBD是正方形；設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理求出CG，利用sin∠CGF= 求出即可．