【題目】兩個全等的△ABC和△DEF重疊在一起,固定△ABC,將△DEF進行如下變換:
(1)如圖1,△DEF沿直線CB向右平移(即點F在線段CB上移動),連接AF、AD、BD,請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點F平移到線段BC的中點時,四邊形AFBD是什么特殊四邊形?請給出證明;
(3)當(dāng)點F平移到線段BC的中點時,若四邊形AFBD為正方形,猜想△ABC應(yīng)滿足什么條件?請直接寫出結(jié)論:在此條件下,將△DEF沿DF折疊,點E落在FA的延長線上的點G處,連接CG,請在圖3位置畫出圖形,并求出sin∠CGF的值.
【答案】
(1)解:S△ABC=S四邊形AFBD,理由如下:
由題意可得:AD∥EC,
則S△ADF=S△ABD,
故S△ACF=S△ADF=S△ABD,
則S△ABC=S四邊形AFBD;
(2)解:當(dāng)點F平移到線段BC的中點時,四邊形AFBD是平行四邊形,理由如下:
∵F為BC的中點,
∴CF=BF,
∵CF=AD,
∴AD=BF,由平移可知AD∥BF,
∴四邊形AFBD為平行四邊形;
(3)解:如圖3所示:△ABC為等腰直角三角形,即AB=AC,∠BAC=90°;理由如下:
由(2)得:四邊形AFBD是平行四邊形,
∵AB=AC,F(xiàn)為BC的中點,
∴AF⊥BC,
∴平行四邊形AFBD為矩形,
∵∠BAC=90°,F(xiàn)為BC的中點,
∴AF= BC=BF,
∴四邊形AFBD是正方形;
設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k,
由勾股定理得:CG= = k,
sin∠CGF= = = .
【解析】(1)利用平行線的性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系得出答案;(2)證出AD=BF,由平移可知AD∥BF,利用平行四邊形的判定得出四邊形AFBD為平行四邊形即可;(3)根據(jù)題意畫出圖形,由等腰三角形的性質(zhì)得出AF⊥BC,證出平行四邊形AFBD為矩形,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AF= BC=BF,得出四邊形AFBD是正方形;設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k,由勾股定理求出CG,利用sin∠CGF= 求出即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)課外興趣活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形苗圃園,其中一邊靠墻,另外三邊用長為30米的籬笆圍成,已知墻長為18米(如圖所示),設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.
(1)若苗圃園的面積為72平方米,求x;
(2)若平行于墻的一邊長不小于8米,這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有,求出最大值和最小值;如果沒有,請說明理由;
(3)當(dāng)這個苗圃園的面積不小于100平方米時,直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在2016年“雙十一”期間,某快遞公司計劃租用甲、乙兩種車輛快遞貨物,從貨物量來計算:若租用兩種車輛合運,10天可以完成任務(wù);若單獨租用乙種車輛,完成任務(wù)的天數(shù)是單獨租用甲種車輛完成任務(wù)天數(shù)的2倍.
(1)求甲、乙兩種車輛單獨完成任務(wù)分別需要多少天?
(2)已知租用甲、乙兩種車輛合運需租金65000元,甲種車輛每天的租金比乙種車輛每天的租金多1500元,試問:租甲和乙兩種車輛、單獨租甲種車輛、單獨租乙種車輛這三種租車方案中,哪一種租金最少?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點,連接AM、BM、CM.以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.
(1)求證:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,則稱點M為△ABC的費馬點.若點M為△ABC的費馬點,試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù);
(3)小翔受以上啟發(fā),得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法:如圖②,分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設(shè)交點為M,則點M即為△ABC的費馬點.試說明這種作法的依據(jù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:等腰三角形OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如下圖,點A的坐標(biāo)為( ,3),點B的坐標(biāo)為(﹣6,0).
(1)若△OAB關(guān)于y軸的軸對稱圖形是△OA'B',請直接寫出A、B的對稱點A'、B'的坐標(biāo);
(2)若將△OAB沿x軸向右平移a個單位,此時點A恰好落在反比例函數(shù) 的圖象上,求a的值;
(3)若△OAB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°,此時點B恰好落在反比例函數(shù) 的圖象上,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD對角線交于點O,BE∥AC,AE∥BD,EO與AB交于點F.
(1)求證:EO=DC;
(2)若菱形ABCD的邊長為10,∠EBA=60°,求:菱形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y= (k1>0,x>0)、函數(shù)y= (k2<0,x<0)的圖象分別經(jīng)過OABC的頂點A、C,點B在y軸正半軸上,AD⊥x軸于點D,CE⊥x軸于點E,若|k1|:|k2|=9:4,則AD:CE的值為( )
A.4:9
B.2:3
C.3:2
D.9:4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請完成下面的解答過程.
如圖,∠1=∠B,∠C=110°,求∠3的度數(shù).
解:∵∠1=∠B,
∴AD∥ 。( 。
∴∠C+ =180°.(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
∵∠C=110°,
∴∠2= °.
∴∠3= =70°.( 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,AB邊上的高CD=4,點P從點A出發(fā),沿AB以每秒3個單位長度的速度向終點B運動,當(dāng)點P不與點A、B重合時,過點P作PQ⊥AB,交邊AC或邊BC于點Q,以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN.設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S(平方單位),點P運動的時間為t(秒).
(1)直接寫出tanB的值為 .
(2)求點M落在邊BC上時t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
(4)邊BC將正方形PQMN的面積分為1:3兩部分時,直接寫出t的值.
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