Question

【題目】如圖，已知拋物線 y x2 bx c 的圖象與 x 軸交于 A1, 0 、 B 4, 0 兩點(diǎn)， 與 y 軸交于點(diǎn)C ，拋物線的對(duì)稱軸與 x 軸交于點(diǎn) D ，點(diǎn) M 從O 點(diǎn)出發(fā)，以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)停止），過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，交拋物線于點(diǎn) P ，交 BC 與點(diǎn)Q .

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn) M 運(yùn)動(dòng)了t （秒）時(shí)，四邊形OBPC 的面積為 S ，求 S 與t 的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t 的取值范圍；

（3）在線段 BC 上是否存在點(diǎn)Q ，使得DBQ 成為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y x2 3x 4.（2）S＝2x2＋8x＋8（0≤x≤4）

（3）存在，Q的坐標(biāo)為（，）, 或（4,）, 或（,）.

【解析】

（1）把A1, 0 、 B 4, 0 兩點(diǎn)代入解析式即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），由S四邊形OBPC＝S△OPC＋S△OPB可列出S與x的函數(shù)關(guān)系式，由于B（4，0），所以0≤x≤4；

（3）有三種可能：①BQ＝DQ，②BQ＝BD＝，③DQ＝BD＝，分別討論即可求得．

解：（1）把A1, 0 、 B 4, 0 兩點(diǎn)代入解析式得

，解得

∴拋物線的解析式為y x2 3x 4.

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，利用B 4, 0，C（0,4）得到BC的解析式為y=-x+4.

（2）如圖，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）

S四邊形OBPC＝S△OPC＋S△OPB＝×4×x＋×4×y

＝2x＋2y

＝2x＋2（x2＋3x＋4）

＝2x2＋8x＋8．

∵點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)上停止，

∴0≤x≤4

∴S＝2x2＋8x＋8（0≤x≤4）

（3）存在．

∵y＝x2＋3x＋4＝（x）2＋

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

∵OB＝OC＝4，

∴BC＝，∠ABC＝45°，

故①若BQ＝DQ

∵BQ＝DQ，BD＝4=

∴BM＝QM＝，

∴OM＝4=

所以Q的坐標(biāo)為Q（，）

②若BQ＝BD＝

∵∠QBM=∠CBO，∠BMQ=∠BOC=90°

∴△BQM∽△BCO，

∴，

∴

∴QM＝BM＝

∴OM＝4

所以Q的坐標(biāo)為Q（4,）．

③若DQ＝BD＝

∵∠ABC＝45°，

∴DQ⊥BD，

∴△DBQ是等腰直角三角形，

∴DQ＝BD＝

所以Q的坐標(biāo)為Q（,），

綜上所述，Q的坐標(biāo)為Q（，）, 或（4,）, 或（,）.