【題目】操作與證明:
如圖1,已知P是矩形ABCD的邊BC上的一個(gè)點(diǎn)(P與B、C兩點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)P作射線PE⊥AP,在射線PE上截取線段PF,使得PF=AP.
(1)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交射線BC點(diǎn)G.(尺規(guī)作圖,保留痕跡,不寫(xiě)作法)
(2)求證:FG=BP.
探究與計(jì)算:
(3)如圖2,若AB=BC,連接CF,求∠FCG的度數(shù);
(4)在(3)的條件下,當(dāng)=時(shí),求sin∠CFP的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)∠FCG=45°;(4).
【解析】
試題分析:(1)利用作一個(gè)角等于已知角的方法,即可作出所求直線;
(2)易求得∠BAP=∠GPF,∠ABP=∠PGF=90°,又由AP=PF,即可證得△ABP≌△PGF,繼而證得結(jié)論;
(3)首先證得FG=CG,即可得△FCG是等腰直角三角形,繼而求得答案;
(4)首先作CH⊥PF于H,易證得△PHC∽△PGF,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可得,然后設(shè)BP=3a,則PC=a,PG=4a,F(xiàn)G=CG=3a,分別求得FC,HC,繼而求得答案.
(1)解:如圖1所示:
(2)證明:∵PE⊥AP,
∴∠APE=90°.
∴∠APB+∠GPF=90°,
又∵∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠GPF,
又∵FG⊥BC,
∴∠ABP=∠PGF=90°,
在△ABP與△PGF中,
,
∴△ABP≌△PGF(AAS).
∴FG=BP;
(3)解:由(2)知AB=PG,
∵AB=BC,
∴BC=PG.
∴BC﹣PC=PG﹣PC.
∴BP=CG,
又∵FG=BP,
∴FG=CG.
又∵∠CGF=90°,
∴∠FCG=45°;
(4)解:如圖2,作CH⊥PF于H,
∵∠HPC=∠GPF,∠CHP=∠FGP=90°,
∴△PHC∽△PGF.
∴,
根據(jù),
設(shè)BP=3a,則PC=a,PG=4a,F(xiàn)G=CG=3a,
∴PF==5a,CF==3a,
∴.
∴HC=a,
∴sin∠CFP==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(1,2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )
A.(﹣1,﹣2)
B.(﹣1,2)
C.(1,﹣2)
D.(2,1)
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【題目】小斌用40元購(gòu)買(mǎi)5元/件的某種商品,設(shè)他剩余的錢(qián)數(shù)為y元,購(gòu)買(mǎi)的商品件數(shù)為x件,則y隨x變化的關(guān)系式為 .
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【題目】如圖,在△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形DBFE是平行四邊形;
(2)當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí),四邊形DBFE是菱形?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】多項(xiàng)式-27x2y3+18x2y2-3x2y分解因式時(shí)應(yīng)提取的公因式是:___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列選項(xiàng)中,具有相反意義的量是( )
A.收入20元與支出30元
B.上升了6米和后退了7米
C.賣(mài)出10斤米和盈利10元
D.向東行30米和向北行30米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)A(-3,y1)、B(0,y2)是二次函數(shù)y=-2(x-1)2+3圖象上的兩點(diǎn),那么y1與y2的大小關(guān)系是________(填y1>y2、y1=y2或y1<y2).
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.求證:無(wú)論m取何值,原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
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【題目】如圖,AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=40°,則下列結(jié)論:
①∠BOE=°;
②OF平分∠BOD;
③∠POE=∠BOF;
④∠POB=2∠DOF.
其中正確的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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