Question

【題目】如圖,二次函數(shù)y=x2+2x+6的圖像與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)D,該二次函數(shù)圖像的對稱軸與直線BC相交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F;

(1)求直線BC的解析式;

(2)試判斷△BFE與△DCE是否相似?并說明理由.

(3)在坐標(biāo)軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) y=-x+6．(2) △BFE與△DCE相似．理由見解析；（3）在坐標(biāo)軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．

【解析】

試題分析：（1）令x=0，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，可求得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線BC解析式，由待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；

（2）觀察兩三角形可知，存在一個(gè)對頂角，只需再有一個(gè)角相等即可，由于DF⊥x軸，在△DCE中只要找到一個(gè)直角即可，結(jié)合邊的長度由勾股定理可得出結(jié)論；

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，只要找到以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△BFE相似即可，分BC為斜邊，直角邊討論即可．

試題解析：（1）令x=0，則有y=6，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）；

令y=0，則有-x2+2x+6=0，

解得：x1=-2，x2=6，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

則有，解得：．

∴直線BC的解析式為y=-x+6．

（2）假設(shè)△BFE與△DCE相似．

∵二次函數(shù)y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），直線DE解析式為x=2．

∵直線BC、DE相交于點(diǎn)E，

∴，解得，

即點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，4）．

∵點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)D（2，8），

∴DE=4，CE=，CD=，

∴DE2=CE2+CD2，

∴∠DCE=90°．

又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，

∴△DCE∽△BEF．

（3）假設(shè)存在．

由（2）可知△DCE∽△BEF，

故只需找到以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似即可．

①以BC為斜邊，如圖1．

此時(shí)P點(diǎn)與O點(diǎn)重合，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；

②以BC為直角邊，點(diǎn)P在x軸上，如圖2．

∵點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)B（6，0），

∴BO=6，CO=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=，

∴BP=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）；

③以BC為直角邊，點(diǎn)P在y軸上，如圖3．

CP=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6）．

綜上可知：在坐標(biāo)軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．