【題目】如圖,已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,
(1)求k的值;
(2)根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍;
(3)過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=(k>0)于P、Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A、P、B、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為224,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1) k=32 (2) x<﹣8或0<x<8 (3) P(﹣7+3 ,16+);或P(7+3,﹣16+)
【解析】分析:(1)先將x=4代入正比例函數(shù)y=2x,可得出y=8,求得點(diǎn)A(4,8),再根據(jù)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,得出B點(diǎn)坐標(biāo),即可得出k的值;
(2)正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方,根據(jù)圖形可知在交點(diǎn)的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值.
(3)由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形,因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形,那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即56.可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后表示出△POA的面積,由于△POA的面積為56,由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
詳解:(1)∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)y=2x上,
∴把x=4代入正比例函數(shù)y=2x,
解得y=8,∴點(diǎn)A(4,8),
把點(diǎn)A(4,8)代入反比例函數(shù)y=,得k=32,
(2)∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,﹣8),
由交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時(shí)x的取值范圍,x<﹣8或0<x<8;
(3)∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形,
∴OP=OQ,OA=OB,
∴四邊形APBQ是平行四邊形,
∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×224=56,
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0且m≠4),
得P(m, ),
過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線,垂足為E、F,
∵點(diǎn)P、A在雙曲線上,
∴S△POE=S△AOF=16,
若0<m<4,如圖,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=56.
∴(8+)(4﹣m)=56.
∴m1=﹣7+3,m2=﹣7﹣3(舍去),
∴P(﹣7+3,16+);
若m>4,如圖,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴S梯形PEFA=S△POA=56.
∴×(8+)(m﹣4)=56,
解得m1=7+3,m2=7﹣3(舍去),
∴P(7+3,﹣16+).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣7+3,16+);或P(7+3,﹣16+).
點(diǎn)睛:本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,做此類題一定要正確理解k的幾何意義.利用數(shù)形結(jié)合的思想,求得三角形的面積.
【題型】解答題
【結(jié)束】
23
【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=9,∠ABC=70°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段AD,DC上(點(diǎn)E與點(diǎn)A,D不重合),且∠BEF=110°.
(1)求證:△ABE∽△DEF.
(2)當(dāng)點(diǎn)E為AD中點(diǎn)時(shí),求DF的長(zhǎng);
(3)在線段AD上是否存在一點(diǎn)E,使得F點(diǎn)為CD的中點(diǎn)?若存在,求出AE的長(zhǎng)度;若不存在,試說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)不存在,理由見解析
【解析】分析:(1)由AD∥BC可求得∠A=∠D=110°,由三角形外角可求得∠AEB=∠DFE,則可證得△ABE∽△DEF;
(2)當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí),則可求得DE=AE=,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于DF的方程,可求得DF的長(zhǎng);
(3)設(shè)AE=x,則DE=9﹣x,利用F為CD的中點(diǎn)可得DF=,利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程,解方程進(jìn)行判斷即可.
詳解:(1)∵AB=DC=AD=9,AD∥BC,∴梯形ABCD為等腰梯形.
∵∠ABC=70°,∴∠A=∠D=180°﹣70°=110°.
∵∠BEF=110°,∴∠AEB+∠BEF=∠D+∠DFE,∴∠AEB=∠DFE,∴△ABE∽△DEF;
(2) 當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí),則AE=DE=.
∵△ABE∽△DEF,
∴=,即=,
∴DF=;
(3)不存在.理由如下:
若F為CD的中點(diǎn),則DF=,設(shè)AE=x,則DE=9﹣x,同(2)可得:=,即=,
整理可得:x2﹣9x+=0,
∴△=(﹣9)2﹣4×=﹣81<0,
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
∴不存在滿足條件的點(diǎn)E.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A(a,b)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),OB⊥OA交拋物線于點(diǎn)B(c,d).當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中(點(diǎn)A不與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合),以下結(jié)論:①ac為定值;②ac=﹣bd;③△AOB的面積為定值;④直線AB必過(guò)一定點(diǎn).正確的有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料,完成任務(wù):
自相似圖形
定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與它相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.例如:正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),連接EG,HF交于點(diǎn)O,易知分割成的四個(gè)四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形,且與原正方形相似,故正方形是自相似圖形.
任務(wù):
(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中,每個(gè)正方形與原正方形的相似比為 ;
(2)如圖2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)△ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D,則CD將△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則△ACD與△ABC的相似比為 ;
(3)現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形,其中長(zhǎng)AD=a,寬AB=b(a>b).
請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇 題.
A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a= (用含n,b的式子表示);
B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含b的式子表示);
②如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a= (用含m,n,b的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,表中給出的是某月的月歷,任意選取“U”型框中的7個(gè)數(shù)(如陰影部分所示),請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)研究,發(fā)現(xiàn)這7個(gè)數(shù)的和不可能的是( )
A.70B.78C.84D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)一批兩種不同型號(hào)的衣服,已知購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)衣服9件,B種型號(hào)衣服10件,則共需1810元;若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)衣服12件,B種型號(hào)衣服8件,共需1880元;已知銷售一件A型號(hào)衣服可獲利18元,銷售一件B型號(hào)衣服可獲利30元,要使在這次銷售中獲利不少于699元,且A型號(hào)衣服不多于28件.
(1)求A、B型號(hào)衣服進(jìn)價(jià)各是多少元?
(2)若已知購(gòu)進(jìn)A型號(hào)衣服是B型號(hào)衣服的2倍還多4件,則商店在這次進(jìn)貨中可有幾種方案并簡(jiǎn)述購(gòu)貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某項(xiàng)工程由甲乙兩隊(duì)合作12天可以完成,供需工程費(fèi)用13800元,乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的1.5倍,且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多150元。
(1)甲乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要多少天?
(2)若工程管理部門決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程,從節(jié)約資金的角度考慮,應(yīng)該選擇哪個(gè)工程隊(duì)?請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年7月9日,北京市滴滴快車調(diào)整了價(jià)格,規(guī)定車費(fèi)由“總里程費(fèi)+總時(shí)長(zhǎng)費(fèi)”兩部分構(gòu)成,具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:(注:如果車費(fèi)不足起步價(jià),則按起步價(jià)收費(fèi).)
時(shí)間段 | 里程費(fèi)(元/千米) | 時(shí)長(zhǎng)費(fèi)(元/分鐘) | 起步價(jià)(元) |
06:00—10:00 | 1.80 | 0.80 | 14.00 |
10:00—17:00 | 1.45 | 0.40 | 13.00 |
17:00—21:00 | 1.50 | 0.80 | 14.00 |
21:00—06:00 | 2.15 | 0.80 | 14.00 |
(1)小明07:10乘快車上學(xué),行駛里程6千米,時(shí)長(zhǎng)10分鐘,應(yīng)付車費(fèi) 元;
(2)小芳17:20乘快車回家,行駛里程1千米,時(shí)長(zhǎng)15分鐘,應(yīng)付車費(fèi) 元;
(3)小華晚自習(xí)后乘快車回家,20:45在學(xué)校上車.由于道路施工,車輛行駛緩慢,15分鐘后選擇另外道路,改道后速度是改道前速度的3倍,10分鐘后到家,共付了車費(fèi)37.4元,問(wèn)從學(xué)校到小華家快車行駛了多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的位置如圖所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4).延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1,作正方形A1B1C1C;延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2,作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2018個(gè)正方形的面積為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是一條射線,、分別是和的平分線.
(1)如圖①,當(dāng)時(shí),則的度數(shù)為________________;
(2)如圖②,當(dāng)射線在內(nèi)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),、、三角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)射線在外如圖③所示位置時(shí),(2)中三個(gè)角:、、之間數(shù)量關(guān)系的結(jié)論是否還成立?給出結(jié)論并說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)射線在外如圖④所示位置時(shí),、、之間數(shù)量關(guān)系是____________.
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