Question

【題目】如圖，在平面在角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A，B（點A在點B的左側(cè)）交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E．

（1）連結(jié)BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD交拋物線于點N（點N在對稱軸的右側(cè)），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點F，點P是線段OC上一動點，當(dāng)MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點O瓶時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交坐標(biāo)軸于點C在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在一點G使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，Q的坐標(biāo)（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

【解析】

（1）先確定點F的位置，可設(shè)點N（m，m2-2m-3），則點F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得m= 時，NF取到最大值，此時HF=2， F（2，-2），在x軸上找一點K（，0），連接CK，過點F作CK的垂線交CK于點J，交y軸于點P，，直線KC的解析式為： ，從而得到直線FJ 的解析式為：聯(lián)立解出點J（ ,

）得FP+PC的最小值即為FJ的長，且, 最后得出 ;（2）由題意可得出點Q（0，-2），A2=，應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半”取AQ的中點G，連接OG，則OG=GQ=AQ=，此時，∠AQ0=∠GOQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 （0°<<360°），得到△A'OQ'，其中邊A’Q’交坐標(biāo)軸于點G，則用0G=GQ’，分四種情況求解即可.

解：（1）如圖1

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵點D為拋物線的頂點，且﹣4

∴點D的坐標(biāo)為D（1，﹣4）

∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，

由題意，可設(shè)點N（m，m2﹣2m﹣3），則點F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴當(dāng)m＝＝2時，NF 取到最大值，此時MN取到最大值，此時HF＝2，

此時，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x軸上找一點K（，0），連接CK，過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于點P，

∴sin∠OCK＝ ，直線KC的解析式為：，且點F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：

∴點J（ , ）

∴FP+PC的最小值即為FJ的長，且

∴；

（2）由（1）知，點P（0， ），

∵把點P向上平移 個單位得到點Q

∴點Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中點G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點G

①如圖2

G點落在y軸的負(fù)半軸，則G（0，﹣），過點Q'作Q'I⊥x軸交x軸于點I，且∠GOQ'＝∠Q'

則∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝

∴，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根據(jù)勾股定理可得|OI|＝

∴點Q'的坐標(biāo)為Q'（，﹣）；

②如圖3，

當(dāng)G點落在x軸的正半軸上時，同理可得Q'（，）

③如圖4

當(dāng)G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q'（﹣，）

④如圖5

當(dāng)G點落在x軸的負(fù)半軸上時，同理可得Q'（﹣，﹣）

綜上所述，所有滿足條件的點Q′的坐標(biāo)為：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）