【題目】如圖,在直角坐標系中,半徑為1的⊙A圓心與原點O重合,直線l分別交x軸、y軸于點B、C,點B的坐標為(6,0),∠ABC60°.

1)若點P是⊙A上的動點,則P到直線BC的最小距離是   

2)若點A從原點O出發(fā),以1個單位/秒的速度沿著線路OBBCCO運動,回到點O停止運動,⊙A隨著點A的運動而移動.設(shè)點A運動的時間為t

①求⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切時t的取值;

②求⊙A在整個運動過程中所掃過的圖形的面積.

【答案】1P到直線BC的最小距離是31;(2)①t的值是1秒或(6+)秒或16秒或(17+6)秒;②10+33+π.

【解析】

1)作高線AG,利用點B的坐標為(6,0),根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)及勾股定理可得AEPE的長;

2)①利用切線的性質(zhì)和特殊三角函數(shù)可得對應(yīng)t的值即可,注意利用數(shù)形結(jié)合得出.

②利用⊙A在整個運動過程中所掃過的面積=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+ABC面積+一個圓的面積﹣LSK面積,求出即可.

解:(1)如圖1,∵點B的坐標為(60),

OB6,

∵∠CAB90°,∠ABC60°,

AAGBCG,交⊙AP,此時P到直線BC的距離最小,

∴∠EAB30°

BEOB3

AP1,

P到直線BC的最小距離是;

故答案為:;

2)①如圖2所示:⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切有4種不同的情況,

∵∠OCB30°,OB6,

BC12

當⊙O1y軸相切于點O,可知:tOO11;

同理可得:OO41,

此時t6+12+117+;

當⊙O2x軸相切于點T

O2T1,∠OBC60°,

sin60°,

O2B,

,

同理可得:當⊙O3y軸相切時,t6+12216;

綜上所述,當⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切時,t的值是1秒或()秒或16秒或(17+6)秒;

②如圖3所示:當圓分別在OB,C位置時,作出公切線DR,YHFG,PW,切點分別為:D,R,H,G,F,P,W

連接CDCF,BG,過點KKXBC于點X,PWBC于點U,

PUOB,

∴∠OBC=∠KUX

∵∠KXU=∠COB90°,

∴△COB∽△KXU

KX1,BC12

解得:KU,

PUBO

∴△CPU∽△COB,

解得:

同理可得出:LSK∽△COB,

解得:

則∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH90°

故⊙A在整個運動過程中所掃過的面積

=矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+ABC面積+一個圓的面積﹣LSK面積

練習冊系列答案
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③作直線PB,PC.所以直線PBPC就是所求作的切線.

根據(jù)小飛設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,

(1)使用直尺和圓規(guī)補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明(說明:括號里填寫推理的依據(jù)).

證明:連接,,

為⊙的直徑,

).

,

,為⊙的切線( ).

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