Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（6，0），AB=6，點(diǎn) P 從點(diǎn) O出發(fā)沿線(xiàn)段 OA 向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度是每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn) D 是線(xiàn)段 OA 的中點(diǎn)．

（1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為點(diǎn) t 秒，△BDP 的面積為 S，求 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) D 重合時(shí)，連接 BP，點(diǎn) E 在線(xiàn)段 AB 上，連接 PE，當(dāng)∠BPE=2∠OBP 時(shí)， 求點(diǎn) E 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B(0，6)；（2）S=；（3）E(4，2)

【解析】

（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）存在2種情況，一種是點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)，一種是在右側(cè)，求△PBD的面積，高始終是OB不變，僅需表示出PD的長(zhǎng)即可；

（3）如下圖，作∠BPE的角平分線(xiàn)PF，根據(jù)角之間的關(guān)系，可得到PF∥OB，從而推導(dǎo)出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的關(guān)系求得線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而得到E的坐標(biāo).

（1）∵A(6，0)，AB=6，△AOB是直角三角形

∴在Rt△AOB中，OB=

∴B(0，6)

（2）情況一：如下圖，點(diǎn)P在點(diǎn)D的左側(cè)，即時(shí)

在△BPD中，以PD為底，則BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=3－2t

∴S=

情況二：如下圖，點(diǎn)P在點(diǎn)D的右側(cè)，即時(shí)

在△BPD中，以PD為底，則BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=2t－3

∴S=

綜上得：S=

（3）如下圖，PF是∠PBE的角平分線(xiàn)，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)G

∵OA=6，OB=6，AB=6

∴△OBA是等腰直角三角形，∠A=45°

∴△GEA是等腰直角三角形

設(shè)PG=x，則AG=3－x

∴EG=AG=3－x

∵PF是∠BPE的角平分線(xiàn)，∴∠BPF=∠FPE

∵∠BPE=2∠OBP

∴∠OBP=∠BPF=∠FPE

∴PF∥OB，∴PF⊥OA

∴∠FPE+∠EPG=90°

∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO

∵∠EGP=∠BOP

∴△PEG∽△PBO

∴，即，解得：x=1

∴PG=1，GE=2

∴E(4，2)