Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD中，對(duì)角線BD =16. 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，P、Q是BD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PQ =2， 則四邊形AEPQ周長(zhǎng)的最小值為_________．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】7+

【解析】

試題將菱形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得B為原點(diǎn)，BD在x的正半軸上，根據(jù)題意得出A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，將A平行向左移動(dòng)2個(gè)單位到A'點(diǎn)，作A'關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點(diǎn)P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，此時(shí)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出結(jié)論．

試題解析：如圖所示：

將菱形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，使得B為原點(diǎn)，BD在x的正半軸上，

∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)是10，對(duì)角線BD=16，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動(dòng)2個(gè)單位到A'點(diǎn)，則A'（6，6），作A'關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點(diǎn)P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，

此時(shí)，四邊形AEPQ的周長(zhǎng)最小，

∵AE==5，PQ=2，AQ+EP=A′P+EP=FP+EP=EF，

∴四邊形四邊形AEPQ的周長(zhǎng)=5+2+=7+．