Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，P是對(duì)角線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、C不重合），連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連接，與交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)線(xiàn)與（或延長(zhǎng)線(xiàn)）交于點(diǎn)F．

（1）連接，證明：；

（2）設(shè)，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，；

（3）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2），當(dāng)x=3或1時(shí)，；（3）PF=EQ，證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）證出，由SAS證明可得結(jié)論；

（2）如圖證明，列比利式可得y與x的關(guān)系式，根據(jù)計(jì)算CE的長(zhǎng)，即y的長(zhǎng)，代入關(guān)系式解方程可得x的值；

（3）如圖做輔助線(xiàn)，當(dāng)F在邊AD上時(shí)，構(gòu)建全等三角形，證明，得EQ=PG，由F、A、G、P四點(diǎn)共圓，得，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結(jié)論；如圖，當(dāng)F在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得結(jié)論．

（1）證明：

∵線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段BQ，

∴BP=BQ，，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，，

∴，

∴，即，

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴（SAS），

∴CQ=AP．

（2）如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

∴，

∵DC=AD=，

由勾股定理可得：

，

∵AP=x，

∴PC=4-x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

由，

∴，

得到，

，

得x=3或x=1．

當(dāng)x=3或1時(shí)，．

（3）結(jié)論：PF=EQ，理由是：

如圖，當(dāng)F在邊AD上時(shí)，過(guò)P作，交AB于G，則，

∵，

∴，

∴，

∵PB=BQ，，

∴（SAS），

∴EQ=PG，

∵，

∴F、A、G、P四點(diǎn)共圓，

連接FG，

∴，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

當(dāng)F在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示，同理可得：PF=PG=EQ．