【題目】拋物線(a、b、c為常數(shù),且)經(jīng)過點和,且,當(dāng)時,y隨著x的增大而減小.下列結(jié)論:①;②;③若點、點都在拋物線上,則;④;⑤若,則.其中結(jié)論正確的是________.(只填寫序號)
【答案】①②④.
【解析】
根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象,利用函數(shù)圖象,由拋物線開口方向得a>0,由拋物線的對稱軸位置得b<0,由拋物線與y軸的交點位置得c<0,于是可對①進行判斷;由于拋物線過點(-1,0)和(m,0),且1<m<2,根據(jù)拋物線的對稱性和對稱軸方程得到0<-,變形可得a+b>0,則可對②進行判斷;利用點A(-3,y1)和點B(3,y2)到對稱軸的距離的大小可對③進行判斷;根據(jù)拋物線上點的坐標特征得a-b+c=0,am2+bm+c=0,兩式相減得am2-a+bm+b=0,然后把等式左邊分解后即可得到a(m-1)+b=0,則可對④進行判斷;根據(jù)頂點的縱坐標公式和拋物線對稱軸的位置得到<c≤-1,變形得到b2-4ac>4a,則可對⑤進行判斷.
如圖,
∵拋物線開口向上,
∴a>0,
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè),
∴b<0,
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方,
∴c<0,
∴abc>0,
所以①的結(jié)論正確;
∵拋物線過點(-1,0)和(m,0),且1<m<2,
∴0<-,
∴>0,
∴a+b>0,
所以②的結(jié)論正確;
∵點A(-3,y1)到對稱軸的距離比點B(3,y2)到對稱軸的距離遠,
∴y1>y2,
所以③的結(jié)論錯誤;
∵拋物線過點(-1,0),(m,0),
∴a-b+c=0,am2+bm+c=0,
∴am2-a+bm+b=0,
a(m+1)(m-1)+b(m+1)=0,
∴a(m-1)+b=0,
所以④的結(jié)論正確;
∵<c,
而c≤-1,
∴<-1,
∴b2-4ac>4a,所以⑤的結(jié)論錯誤.
故答案為:①②④.
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【題目】在一次數(shù)學(xué)綜合實踐活動中,同學(xué)們測量了學(xué)校教學(xué)樓的高度.如圖,CD是高為2m的平臺,在D處測得樓頂B的仰角為45°,從平臺底部向教學(xué)樓方向前進4m到達E處,測得樓頂B的仰角為60°.求教學(xué)樓AB的高度(結(jié)果保留根號).
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【題目】如圖,圓心都在x軸正半軸上的半圓O1,半圓O2,…,半圓On與直線l相切.設(shè)半圓O1,半圓O2,…,半圓On的半徑分別是r1,r2,…,rn,則當(dāng)直線l與x軸所成銳角為30°,且r1=1時,r2018=_________.
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【題目】把一副三角板按如圖放置,其中∠ABC=∠DEB=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜邊AC=BD=10,若將三角板DEB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△D′E′B,則點A在△D′E′B的( )
A.內(nèi)部 B.外部 C.邊上 D.以上都有可能
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,點E在AB上,∠DEC=90°.
(1)求證:△ADE∽△BEC.
(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求AB的長.
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【題目】如圖1,對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),且點A坐標為(-1,0).又P是拋物線上位于第一象限的點,直線AP與y軸交于點D,與拋物線對稱軸交于點E,點C與坐標原點O關(guān)于該對稱軸成軸對稱.
(1)求點 B 的坐標和拋物線的表達式;
(2)當(dāng) AE:EP=1:4 時,求點 E 的坐標;
(3)如圖 2,在(2)的條件下,將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′,旋轉(zhuǎn)角為 α(0°<α<90°),連接 C ′D、C′B,求 C ′B+ C′D 的最小值.
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【題目】如圖,已知MN是⊙O的直徑,點Q在⊙O上,將劣弧沿弦MQ翻折交MN于點P,連接PQ,若∠PMQ=16°,則∠PQM的度數(shù)為( 。
A.32°B.48°C.58°D.74°
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【題目】已知如圖,拋物線y=x2+bx+c過點A(3,0),B(1,0),交y軸于點C,點P是該拋物線上一動點,點P從C點沿拋物線向A點運動(點P不與點A重合),過點P作PD∥y軸交直線AC于點D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值;
(3)△APD能否構(gòu)成直角三角形?若能請直接寫出點P坐標,若不能請說明理由;
(4)在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大?若存在請求出點M的坐標,若不存在請說明理由.
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【題目】如圖,為了測量一棵樹CD的高度,測量者在B處立了一根高為2.5m的標桿,觀測者從E處可以看到桿頂A,樹頂C在同一條直線上,若測得BD=7m,FB=3m,EF=1.6m,則樹高為_____m.
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