Question

如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）圖中是否存在與△ODM相似的三角形，若存在，請(qǐng)找出并給于證明。

（2）設(shè)DM = x，OA=R，求R關(guān)于x 的函數(shù)關(guān)系式；是否存在整數(shù)R,使得正方形ABCD內(nèi)部的扇形OAM圍成的圓錐地面周長(zhǎng)為p ，若存在請(qǐng)求出此時(shí)DM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說明理由。

（3）在動(dòng)點(diǎn)O逐漸向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長(zhǎng)如何變化？說明理由.

Answer 1

解（1）∵MN切⊙O于點(diǎn)M，∴   ………………… 1分

∵

∴   …………………………… 1分

又∵∴△∽△， ……1分

（2）在Rt△中，，設(shè)；

∴， ………………………1分

由勾股定理得：，……………… 1分

∴，∴；  ……………… 1分

∵4＜OA＜8即4＜R＜8

∴當(dāng)R=5時(shí)，∠MOA超過180⁰，不符合，舍去……………… 1分

當(dāng)R=6時(shí)，∠MOA=160^0，∴

∵＞0，^，∴                       ……………… 1分

同理當(dāng)R=7時(shí)，x=                         ……………… 1分

（3）∵，又

且有△∽△， ∴， ∴代入得到； …………… 1分

同理，∴代入得到；  ……………………………………2分

∴△CMN的周長(zhǎng)為P=

                  ．………………1分

在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過程中，△CMN的周長(zhǎng)P始終為16，是一個(gè)定值．