Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點是拋物線頂點，點是直線下方的拋物線上一動點．

（）這個二次函數(shù)的表達式為____________．

（）設(shè)直線的解析式為，則不等式的解集為___________．

（）連結(jié)、，并把沿翻折，得到四邊形，那么是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由．

（）當四邊形的面積最大時，求出此時點的坐標和四邊形的最大面積．

（）若把條件“點是直線下方的拋物線上一動點．”改為“點是拋物線上的任一動點”，其它條件不變，當以、、、為頂點的四邊形為梯形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）當P（，）時，S四邊形ABPC最大；（5）點P的坐標為（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】試題分析：（1）直接設(shè)成頂點式即可得出拋物線解析式；

（2）先確定出點B，C坐標，再根據(jù)圖象直接寫出范圍；

（3）利用菱形的性質(zhì)得出PO=PC即可得出點P的縱坐標，代入拋物線解析式即可得出結(jié)論；

（4）先利用坐標系中幾何圖形的面積的計算方法建立函數(shù)關(guān)系式即可求出面積的最大值；

（5）先求出直線BC，BC，CD的解析式，分三種情況利用梯形的性質(zhì)，一組對邊平行即可得出直線DP1，CP2，BP3的解析式，分別聯(lián)立拋物線的解析式建立方程組求解即可．

試題解析：解：（1）∵點D（1，﹣4）是拋物線y=x2+bx+c的頂點，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集為x＜0或＞3．故答案為：x＜0或＞3；

（3）如圖1．∵四邊形POP′C為菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴點P的縱坐標為﹣．∵P在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如圖2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，過點P作PE∥y軸交BC于E，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=ABOC+PE|xP|+PE|xB﹣xP|

=ABOC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

當m=時，S四邊形ABPC最大=．

當m=時，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如圖，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直線BC的解析式為y=x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，直線CD的解析式為y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形．∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3①；

①當DP1∥BC時，∴直線DP1的解析式為y=x﹣5②，聯(lián)立①②解得，點P1（2，﹣3），[另一個點為（1，﹣4）和點D重合，舍去]

②當CP2∥BD時，∴直線CP2的解析式為y=2x﹣3③，聯(lián)立①③解得點P2（4，5）

③當BP3∥CD時，∴直線BP3∥CD的解析式為y=﹣x+3④，聯(lián)立①④解得點P3（﹣2，5）．

綜上所述：以P、C、D、B為頂點的四邊形為梯形時，點P的坐標為（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．