Question

已知某二次函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，

與軸相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)。

⑴求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含的代數(shù)式表示）；

⑵如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的面積為，試求出與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系式及的最大值；

⑶如圖②，當(dāng)取何值時(shí)，以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？

		圖②
	圖①

Answer 1

解：⑴∵該二次函數(shù)的圖象與軸分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，

∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為

∵該二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，

∴，故

∴該二次函數(shù)的解析式為

⑵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，該二次函數(shù)的解析式為

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴直線的解析式為，即

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)

∵點(diǎn)為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∴當(dāng)時(shí)，有最大值；

另解：

∵，∴，∴，∴，

∴（其余略）

再解：

⑶∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴

∵是直角三角形，∴欲使以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，必有

①若在中，，則，即

化簡(jiǎn)整理得：，∵，∴（舍去負(fù)值）

此時(shí)，，，∴

∵且，∴與相似，符合題意；

②若在中，，則，即

化簡(jiǎn)整理得：，∵，∴（舍去負(fù)值）

此時(shí)，，，∴

雖然，但是，∴與不相似，應(yīng)舍去；

∴綜上所述，只有當(dāng)時(shí)，以、、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似。