Question

【題目】如圖，一傘狀圖形，已知∠AOB＝120°，點(diǎn)P是∠AOB角平分線上一點(diǎn)，且OP＝2，∠MPN＝60°，PM與OB交于點(diǎn)F，PN與OA交于點(diǎn)E．

（1）如圖一，當(dāng)PN與PO重合時，探索PE，PF的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖二，將∠MPN在（1）的情形下繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)a度（0＜a＜60°），繼續(xù)探索PE，PF的數(shù)量關(guān)系，并求四邊形OEPF的面積．

Answer 1

【答案】（1）PE＝PF；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線定義得到∠POF=60°，推出△PEF是等邊三角形，得到PE=PF；
（2）過點(diǎn)P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PE=PF，S四邊形OEPF=S四邊形OQPH，求得OQ=1，QP=，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解：（1）∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，

∴∠POF＝60°，

∵∠MPN＝60°，∴MPN＝∠FOP＝60°，∴△PEF是等邊三角形，

∴PE＝PF；

（2）過點(diǎn)P作PQ⊥OA，PH⊥OB，

∵OP平分∠AOB，

∴PQ＝PH，∠PQO＝∠PHO＝90°，

∵∠AOB＝120°，∴∠QPH＝60°，

∴∠QPE+∠FPH+∠EPH， ∴∠QPE＝∠EPF，

在△QPE與△HPF中

，

∴△QPE≌△HPF（AAS），

∴PE＝PF，

S四邊形OEPF＝S四邊形OQPH，

∵PQ⊥OA，PH⊥OB，OP平分∠AOB，∴∠QPO＝30°，

∴OQ＝1，QP＝＝，∴S△OPQ＝×1×＝，

∴四邊形OEPF的面積＝2S△OPQ＝