【題目】如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,DBC邊上一點,(不與點B、C)重合,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接EC,則∠ACE的度數(shù)是__________,線段AC,CDCE之間的數(shù)量關(guān)系是_______________.

(2)2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,DBC邊上一點(不與點B、C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD,BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)如圖3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若點A滿足AB=AC,∠BAC=90°,請直接寫出線段AD的長度.

【答案】(1)60°,AC=DC+EC(2)∠ACE=45°BD2+CD2=2AD2,詳見解析(3)AD=AD=

【解析】

1)證明BAD≌△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答;

2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE,∠ACE=B,得到∠DCE=90°,根據(jù)勾股定理計算即可;

3)如圖3,作AECDE,連接AD,根據(jù)勾股定理得到BC==,推出點BC,A,D四點共圓,根據(jù)圓周角定理得到∠ADE=45°,求得ADE是等腰直角三角形,得到AE=DE,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

(1)∵在ABC中,AB=AC,∠BAC=60°

∴∠BAC=DAE=60°,

∴∠BAC-DAC=DAE-DAC,即∠BAD=CAE,

BADCAE中,,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

∴∠ACE=B=60°,BD=CE,

BC=BD+CD=EC+CD,

AC=BC=EC+CD;

故答案為:60°,AC=DC+EC;

(2)BD2+CD2=2AD2,

理由如下:由(1)得,BAD≌△CAE,∴BD=CE,∠ACE=B=45°,

∴∠DCE=90°,

CE2+CD2=ED2

RtADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,

BD2+CD2=2AD2

(3)如圖3,作AECDE,連接AD,


∵在RtDBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,

BC=,

∵∠BAC=90°,AB=AC,

AB=AC=,∠ABC=ACB=45°,

∵∠BDC=BAC=90°,

∴點B,CA,D四點共圓,

∴∠ADE=45°

∴△ADE是等腰直角三角形,

AE=DE,

CE=5DE,

AE2+CE2=AC2,

AE2+(5AE)2=17,

AE=1,AE=4,

AD=AD=

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