Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2﹣x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上在第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)Q．

（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)，并求出a為何值時(shí)PQ取得最大值．

（3）試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），C（0，4）；（2）a＝﹣2時(shí)，PQ有最大值；（3）存在，理由見(jiàn)解析；Q（﹣1，3）或（）

【解析】

（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）代入拋物線(xiàn)解析式可得出c＝4，解方程，得x1＝3，x2＝﹣4，則A（﹣4，0）；

（2）求出直線(xiàn)AC的解析式y＝﹣x+4，設(shè)P（a，），則點(diǎn)Q（a，a+4），則PQ可用a表示，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出PQ的最大值；

（3）分BC＝BQ、BC＝CQ、CQ＝BQ三種情況，分別列得出方程求解即可．

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）代入拋物線(xiàn)解析式得，

，

解得：c＝4，

令y＝0，則，

解得x1＝3，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），C（0，4）；

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直線(xiàn)AC的解析式y＝x+4，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，P（a，），則點(diǎn)Q（a，a+4），

∴PQ＝＝，

∵，

∴a＝﹣2時(shí)，PQ有最大值；

（3）存在，理由：

點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），

則BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n并解得：，

∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+4，

設(shè)BC的中點(diǎn)為H，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H（），

∴過(guò)BC的中點(diǎn)H且與直線(xiàn)BC垂直直線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝，

①當(dāng)BC＝BQ時(shí)，如圖1，

∴BC＝BQ＝5，

設(shè)：QM＝AM＝n，則BM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，

解得：n＝3或4（舍去4），

故點(diǎn)Q1（﹣1，3）；

②當(dāng)BC＝CQ時(shí)，如圖1，

∴CQ＝5，

則AQ＝AC﹣CQ＝4，

∴，

∴，

③當(dāng)CQ＝BQ時(shí)，

聯(lián)立直線(xiàn)AC解析式y＝x+4和y＝，

解得x＝﹣（不合題意，舍去），

綜合以上可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q（﹣1，3）或（）