【題目】如圖,在中,是內(nèi)心,,是邊上一點(diǎn),以點(diǎn)為圓心,為半徑的經(jīng)過點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求證:是的切線;
(2)連接,若,,求圓心到的距離及的長.
【答案】(1)見解析;(2)點(diǎn)到的距離是1,的長度
【解析】
(1)連接OI,延長AI交BC于點(diǎn)D,根據(jù)內(nèi)心的概念及圓的性質(zhì)可證明OI∥BD,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可證明∠AIO=90°,從而得到結(jié)論;
(2)過點(diǎn)O作OE⊥BI,利用垂徑定理可得到OE平分BI,再根據(jù)圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)即可求出O到BI的距離;根據(jù)角平分線及圓周角定理可求出∠FOI=60°,從而證明△FOI為等邊三角形,最后利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.
解:(1)證明:延長AI交BC于D,連接OI,
∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴BI平分∠ABC,AI平分∠BAC,
∴∠1=∠3,
又∵OB=OI,
∴∠3=∠2,
∴∠1=∠2,
∴OI∥BD,
又∵AB=AC,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∴∠AIO=∠ADB=90°,
∴AI為的切線;
(2)作OE⊥BI,由垂徑定理可知,OE平分BI,
又∵OB=OF,
∴OE是△FBI的中位線,
∵IF=2,
∴OE=IF==1,
∴點(diǎn)O到BI的距離是1,
∵∠IBC=30°,
由(1)知∠ABI=∠IBC,
∴∠ABI =30°,
∴∠FOI=60°,
又∵OF=OI,
∴△FOI是等邊三角形,
∴OF=OI=FI=2,
∴的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】仙桃是遂寧市某地的特色時令水果.仙桃一上市,水果店的老板用2400元購進(jìn)一批仙桃,很快售完;老板又用3700元購進(jìn)第二批仙桃,所購件數(shù)是第一批的倍,但進(jìn)價比第一批每件多了5元.
(1)第一批仙桃每件進(jìn)價是多少元?
(2)老板以每件225元的價格銷售第二批仙桃,售出80%后,為了盡快售完,剩下的決定打折促銷.要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于440元,剩余的仙桃每件售價至少打幾折?(利潤=售價﹣進(jìn)價)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線的對稱軸為直線,與軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為,其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:
①;
②;
③方程的兩個根是;
④方程有一個實(shí)根大于;
⑤當(dāng)時,隨增大而增大.
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.個B.個C.個D.個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E,連結(jié)EB交OD于點(diǎn)F.
(1)求證:OD⊥BE;
(2)若DE=,AB=,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣x+c與x軸交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC,點(diǎn)P是拋物線上在第二象限內(nèi)的一個動點(diǎn),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交AC于點(diǎn)Q.
(1)求A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)請用含a的代數(shù)式表示線段PQ的長,并求出a為何值時PQ取得最大值.
(3)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得以B,C,Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請寫出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi),直線分別與軸、軸交于點(diǎn),.拋物線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn),且與軸的另一個交點(diǎn)為.點(diǎn)在該拋物線上,且位于直線的上方.
(1)求上述拋物線的表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié),,且交于點(diǎn),如果的面積與的面積之比為,求的余切值;
(3)過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),聯(lián)結(jié).若與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求此拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)是軸上方拋物線上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)不重合),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn),連結(jié).設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①試用含的代數(shù)式表示的長;
②直線能否把分成面積之比為1:2的兩部分?若能,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)如圖2,若點(diǎn)也在此拋物線上,問在軸上是否存在點(diǎn),使?若存在,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,y關(guān)于x的二次函數(shù)是( )
A. y=ax2+bx+c B. y=x(x﹣1)
C. y= D. y=(x﹣1)2﹣x2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線,以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)N作NE⊥AB,垂足為E.
(1)若⊙O的半徑為,AC=6,求BN的長;
(2)求證:NE與⊙O相切.
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